Имагинарни број

Све степени од Шаблон:Math претпостављају вредности из плаве области

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math је 4. корен јединице

У математици, имагинарни број је комплексни број чији је квадрат негативан реалан број. Имагинарни бројеви имају облик $bi$, гдје је $b$ реалан број различит од нуле и $i$ имагинарна јединица за коју важи: $i^2=-1$. Квадрат имагинарног броја Шаблон:Mvar је Шаблон:Math. На пример, Шаблон:Math је имагинарни број, а његов квадрат је Шаблон:Math. По дефиницији, нула се сматра и реалном и имагинарном.

Првобитно скован у 17. веку од стране Ренеа Декарта у дерогативном контексту и сматран измишљеним или бескорисним, овај концепт је стекао широку прихваћеност након радова Леонхарда Ојлера (у 18. веку) и Огистена Луја Кошија и Карла Фридриха Гауса (почетком 19. века).

Имагинарни број $bi$ може бити додат уз реалан број, формирајући тако комплексни број $z$ облика $z=a+bi$, код којег је $a$ „реалан део“, а $bi$ је „имагинарни део“. Имагинарни бројеви се дакле могу сматрати као комплексни бројеви код којих је „реалан део“ нула.

Историја

Илустрација комплексне равни. Имагинарни бројеви су на вертикалној координатној оси.

Грчки математичар Херон из Александрије наводи се као први који је приметио имагинарне бројеве. Рафаел Бомбели је 1572. године дефинисао скуп ових бројева и основне операције са њима. У то време, имагинарне бројеве су појединци сматрали као фиктивне и беспотребне. Многи други математичари су били спори у томе да прихвате употребу имагинарних бројева, као што је био Рене Декарт који је погрдно писао о њима у свом раду „Геометрија“. Декарт је био први који је употребио појам „имагинаран број“ 1637. године. Ова идеја није била широко прихваћена све до радова Леонарда Ојлера (1707-1783) и Карла Фридриха Гауса (1777-1855). Геометријску значајност комплексних бројева је први пронашао Каспар Весел (1745-1818).

Године 1843, Вилијам Роуан Хамилтон је проширио идеју осе имагинарних бројева у равни на четвородимензионални простор кватерниона имагинарија у коме су три димензије аналогне имагинарним бројевима у комплексном пољу.

Геометријска репрезентација

Комплексни конјугат

Ротација за 90 степени у комплексној равни

Геометријски гледано, имагинарни бројеви се налазе на вертикалној оси на комплексној равни. Код броја 0 на $x$-оси, може се нацртати $y$-оса са позитивним правцем нагоре. Позитивни имагинарни бројеви се повећавају према горе, док се негативни смањују према доле. Ова вертикална оса се често назива имагинарна оса и означава се као "$iℝ$", "$𝕀$" или једноставно као "Im". and is denoted $iℝ,$ $𝕀,$ or Шаблон:Math.

У овој репрезентацији множење са -1 је једнако ротацији од 180 степени у односу на координатни почетак. Множење са $i$ је једнако ротацији од 90 степени у "позитивном" правцу (у правцу супротном правцу казаљке на сату). Једначина $i^2=-1$ се интерпретира као две ротације од 90 степени у односу на координатни почетак, што је исти резултат као једна ротација од 180 степени. Треба запазити да ротација од 90 степени у негативном правцу (правцем казаљке на сату) исто задовољава ову интерпретацију. Ово потврђује чињеницу да $-i$ такође решење једначине $x^2=-1$.

Множење комплексним бројем је исто као ротирање око координатног почетка помоћу аргумента комплексног броја, након чега следи скалирање по његовој магнитуди.

Степеновање имагинарне јединице

Степеновање имагинарног броја $i$ се кружно понавља. Ово се може видети у следећем примеру где $n$ представља било који број:

• $i^{4n}=1$,
• $i^{4n+1}=i$,
• $i^{4n+2}=-1$,
• $i^{4n+3}=-i.$,

Ово доводи до закључка да је $i^n=i^{nmod4}$.

Квадратни корени негативних бројева

Неопходно је обратити пажњу када се ради са имагинарним бројевима који су изражени као главне вредности квадратног корена негативних бројева:

$6=\sqrt{36}=\sqrt{(-4)(-9)}\ne \sqrt{-4}\sqrt{-9}=(2i)(3i)=6i^2=-6.$

То се понекад пише као:

$-1=i^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}\stackrel{\text{ (fallacy) }}{=}\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1.$

Заблуда се јавља као једнакост $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$ није остварива када променљиве нису на одговарајући начин ограничене. У том случају, једнакост не важи јер су оба броја негативна, што се може показати на следећи начин:

$\sqrt{-x}\sqrt{-y}=i\sqrt{x}i\sqrt{y}=i^2\sqrt{x}\sqrt{y}=-\sqrt{xy}\ne \sqrt{xy},$

где су Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar позитивни реални бројеви.

Види још

• Имагинарна јединица
• Комплексни број

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book — A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
• Шаблон:Cite book — An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Спољашње везе

• How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
• 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
• Why Use Imaginary Numbers? Шаблон:Wayback Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers