Извод инверзне функције

Правило:
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x))}$

Пример за произвољно $x_0\approx 5.8$:
$f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{4}$
$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x_0))=4$

У математици, инверз функције $y=f(x)$ је функција која, на неки начин, "поништава" ефекат функције $f$ (види инверзна функција за формалну и детаљнију дефиницију). Инверзна функција функције $f$ се означава као $f^{-1}$. Изрази Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap су једнаки.

Изводи ове две функције, под претпоставком да постоје, су реципрочни:

$\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1.$

Ово је директна последица правила извода сложене функције, пошто је, по Лајбницовим ознакама:

$\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dx}{dx}$

а извод од $x$ по $x$ је 1.

Ако експлицитно запишемо зависност $y$ на $x$ и уврстимо тачку диференцијације користећи Лагранжову нотацију, формула за извод инверзне функције постаје:

${\left[f^{-1}\right]}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}$

Геометријски, функција и њен инверз имају графике који су пресликане рефлексије у огледалу, по линији Шаблон:Nowrap. Ова рефлексија заправо претвара нагиб тангенте сваке тачке у њену реципрочну вредност.

Ако претпоставимо да за функцију $f$ постоји инверзна функција, и да је њен извод не-нулти, инверз је увек диференцијабилан у $x$ и има вредност као из формуле изнад.

Примери

• $y=x^2$ (за позитивне вредности $x$) има инверзну функцију $x=\sqrt{y}$.

$\frac{dy}{dx}=2x;\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2x}$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}=2x\cdot \frac{1}{2x}=1.$

Међутим, у тачки Шаблон:Nowrap наилазимо на проблем. График квадратног корена ту има асимптоту и постаје вертикалан (што одговара хоризонталној тангенти функције квадрантног корена).

• $y=e^x$ (за реалне вредности $x$) има инверзну функцију $x=\ln y$ (за позитивне вредности $y$)

$\frac{dy}{dx}=e^x;\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}=e^x\cdot \frac{1}{y}=\frac{e^x}{e^x}=1$

Изводи вишег реда

Идентитет изнад се добија коришћењем правила извода сложене функције по x, за формулу Шаблон:Nowrap . Овај процес се може наставити и за изводе вишег реда. Диференцијација овог идентита два пута, по x даје:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot \frac{dx}{dy}+\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=0$

или ако заменимо први извод из формуле изнад:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3.$

Исто тако, за трећи извод добијамо:

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=-\frac{d^{3}x}{d{y}^3}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4-3\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2$

или искоршавајући формулу за други извод:

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=-\frac{d^{3}x}{d{y}^3}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4+3{\left(\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^5$

Ове формуле су генерализоване као Фа ди Брунове формуле.

Ове формуле можемо да напишемо и преко Лајбницових ознака. Ако су f и g међусобно инверзне функције, онда

$g^{″}(x)=\frac{-f^{″}(g(x))}{[f^{\prime }(g(x)){]}^3}$

Пример

• $y=e^x$ има инверзну функцију $x=\ln y$. Коришћењем формуле за други извод инверзне функције добијамо:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^x=y;{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3=y^3;$

тако да је

$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot y^3+y=0;\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{1}{y^2}$,

што се слаже са директним израчунавањем.

Види још

• Математичка анализа
• Инверзна функција
• Извод сложене функције