Сложена функција

Сложена или посредна функција од аргумента $x$, преко међуаргумента $u$ је функција са законом кореспонденције $y=f(g(x))$, чију област дефинисаности чини скуп оних вредности аргумената $x$, за које $u=g(x)$ припада области дефинисаности функције $y=f(u)$.

Симбол $y=f(g(x))$ означава два пресликавања $x$ --> $u$ --> $y$. Он има смисла ако $u=g(x)$ припада области дефинисаности функције $y=f(u)$. У супротном, ако $u=g(x)$ не припада области дефинисаности функције $y=f(u)$, онда симбол $y=f(g(x))$ нема смисла и не означава сложену функцију.

Сложена функција може имати и више, односно, два, три или уопште коначан број међуаргумената. Свака сложена функција може се разложити на ланац узастопних пресликавања, односно функција у којима ће између функције у и аргумента x посредовати коначан број међуаргумената, због чега се сложена функција назива и посредна функција.

Примери

Конкретан пример за композицију две функције.

• Композиција функција на коначном скупу: Ако је Шаблон:Math, и Шаблон:Math, онда је Шаблон:Math, као што је приказано на слици.
• Композиција функција на бесконачном скупу: Ако је Шаблон:Math (где је Шаблон:Math скуп свих реалних бројева) дат са Шаблон:Math и Шаблон:Math је дато са Шаблон:Math, онда:Шаблон:Block indent Шаблон:Block indent
• Ако је висина авиона у тренутку  Шаблон:Mvar једнака Шаблон:Math, а ваздушни притисак на висини Шаблон:Mvar је Шаблон:Math, онда је Шаблон:Math притисак око авиона у тренутку Шаблон:Mvar.

Особине

Композиција функција је увек асоцијативна — особина наслеђена из састава релација. Односно, ако су Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, и Шаблон:Mvar уклопљиви, онда је Шаблон:Math. Пошто заграде не мењају резултат, углавном се изостављају.

У строгом смислу, композиција Шаблон:Math је смислена само ако је кодомен Шаблон:Mvar једнак домену Шаблон:Mvar; у ширем смислу, довољно је да први буде подскуп другог. Штавише, често је подесно прећутно ограничити домен Шаблон:Mvar, тако да Шаблон:Mvar производи само вредности у домену Шаблон:Mvar. На пример, композиција Шаблон:Math функција Шаблон:Math дефинисана са Шаблон:Math и Шаблон:Math дефинисана са $g(x)=\sqrt{x}$ може се дефинисати на интервалу Шаблон:Math.

Композиције две реалне функције, апсолутне вредности и кубне функције, у различитим редоследима, показују некомутативност композиције.

Каже се да функције Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar комутирају једна са другом ако је Шаблон:Math. Комутативност је посебно својство, које се постиже само одређеним функцијама, и то често у посебним околностима. На пример, Шаблон:Math само када је Шаблон:Math. На слици је приказан још један пример.

Састав један-на-један (ијективних) функција је увек један-на-један. Слично, композиција функција субјективног пресликавања је увек на. Из тога следи да је композиција две бијекције такође бијекција. Инверзна функција композиције (претпостављена инверзибилна) има својство да је Шаблон:Math.

Деривати композиција које укључују диференцибилне функције могу се наћи помоћу правила ланца. Више изводе таквих функција даје Фа ди Брунова формула.

Композициони моноиди

Сличност која трансформише троугао EFA у троугао ATB је композиција хомотетије Шаблон:Mvar и ротације Шаблон:Mvar, чији је заједнички центар S. . На пример, слика A  испод ротације Шаблон:Math је U, , што се може написати  Шаблон:Nowrap Шаблон:Nowrap значи да пресликавање Шаблон:Math трансформише Шаблон:Nowrap. Дакле, Шаблон:Nowrap.

Претпоставимо да се разматрају две (или више) функција Шаблон:Math Шаблон:Math које имају исти домен и кодомен; ово се често назива трансформацијама. Тада се могу формирати здружени ланци трансформација, као што је Шаблон:Math. Такви ланци имају алгебарску структуру моноида, који се називају трансформациони моноид или (много ређе) композициони моноид. Генерално, трансформациони моноиди могу имати изузетно компликовану структуру. Један посебно значајан пример је де Рамова крива. Скуп свих функција Шаблон:Math назива се полугрупа пуне трансформације или симетрична полугрупа'' на Шаблон:Mvar. (Заправо могу се дефинисати две полугрупе у зависности од тога како се дефинише операција полугрупе као лева или десна композиција функција.)

Ако су трансформације бијективне (а самим тим инвертибилне), онда скуп свих могућих комбинација ових функција формира групу трансформација; и може се рећи да је група генерисана овим функцијама. Основни резултат теорије група, Кејлијева теорема, у суштини наводи да је свака група заправо само подгрупа пермутационе групе (до изоморфизма).

Скуп свих бијективних функција Шаблон:Math (званих пермутације) формира групу у односу на композицију функције. Ово је симетрична група, која се понекад назива и композицијска група.

У симетричној полугрупи (свих трансформација) налази се и слабији, нејединствен појам инверзне вредности (која се назива псеудоинверзном вредности) јер је симетрична полугрупа регуларна полугрупа.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalev (2000), Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, Expositions in Mathematics 29, Walter de Gruyter, Berlin, Шаблон:Isbn.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book (NB. This is the updated and free version of book originally published by Prentice Hall in 1990 as Шаблон:Isbn.)
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.