Грам—Шмитов поступак ортонормализације

Грам—Шмитов поступак ортонормализације је метод у линеарној алгебри, који служи за ортогонализацију и нормирање скупа вектора у задатом еуклидском простору.

Поступак је следећи. Узмимо на пример векторски простор произвољне димензије Rⁿ, са базом {v₁, v₂, ... ,v_n}, Грам-Шмитовим поступком ортогонализације можемо да трансформишемо базу {v_i} у ортонормирану базу, {u_i}. Прво нормализујемо v₁: u₁=v₁/||v₁||.

Затим израчунавамо w₂=v₂-<v₂,u₁>u₁, па нормализујемо w₂: u₂=w₂/||w₂||

Овај поступак применимо за све векторе из базе {v_i}: w_i+1=v_i+1-<v_i+1,u_iui>- ... - <v_i+1,u₁>u₁ и u_i+1=w_i+1/||w_i+1||. Вектори {u₁, ... ,v_n} су линеарно независни, и стога чине базу векторског простора Rⁿ.

Пример

Узмимо следећи скуп вектора у Rⁿ (са уобичајеним скаларним производом)

$S=\{{𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right),{𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\}.$

Сада применимо Грам-Шмитов поступак како бисмо добили ортогонални скуп вектора:

${𝐮}_1={𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$

${𝐮}_2={𝐯}_2-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_1}{𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2/5\\ 6/5\end{array}\right).$

Проверимо векторе u₁ и u₂ како бисмо утврдили да су стварно ортогонални:

$⟨{𝐮}_1,{𝐮}_2⟩=⟨\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2/5\\ 6/5\end{array}\right)⟩=-\frac{6}{5}+\frac{6}{5}=0.$

Сада можемо и да их нормализујемо, тако што ћемо их поделити са њиховим дужинама:

Први кораци Грам-Шмитовог поступка.

${𝐞}_1=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$

${𝐞}_2=\frac{1}{\sqrt{\frac{40}{25}}}\left(\begin{array}{c}-2/5\\ 6/5\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right).$