Zakrivljenost

Prikaz zakrivljenosti prostor-vremena.

U matematici, zakrivljenost se odnosi na brojne, u maloj meri povezane koncepte iz različitih oblasti geometrije. Intuitivno, zakrivljenost je mera odstupanja geometrijskog objekta od ravni, ili prave u slučaju linije, ali se to definiše na različite načine u zavisnosti od konteksta.

Svaka neprekidna kriva može se aproksimirati krugom određenog poluprečnika u okolini date tačke. Pretpostavimo da je kriva data u ravni. Poluprečnik kruga koji je dodiruje u tački (-{x, y}-) i ima isti prvi i drugi izvod kao i data kriva u toj tački predstavlja zakrivljenost krive. Krenimo od jednačine kruga sa centrom u tački (-{p, q}-)

${(x-p)}^2+{(y-q)}^2=r^2$ , (1)

gde je -{r}- poluprečnik kruga.

Diferenciranjem ove jednačine dobijamo

$(x-p)+(y-q)y^{\prime }=0$ , (2)

a još jednim diferenciranjem

$1+y{\text{'}}^2+(y-q)y^{″}=0$ . (3)

Iz (3) dobijamo da je

$y-q=-(1+y{\text{'}}^2)/y^{″}$, (4)

a vraćanjem ovog rezultata u (2) sledi

$x-p=y^{\prime }(1+y{\text{'}}^2)/y^{″}$, (5).

Uvrštavanjem (4) i (5) u (1), dobijamo da je poluprečnik (krivine) kruga dat sa:

$r={(1+y{\text{'}}^2)}^{(3/2)}/\left|y^{″}\right|$ , (6)

uz napomenu da je -{r}- uvek pozitivan.

Za sve tačke na krugu, pa tako i tačke dela krive koju krug aproksimira (dodirna tačka i beskonačno mala okolina) veza poluprečnika kruga (zakrivljenosti) i prvog i drugog izvoda krive u toj tački data je jednačinom (6).

Ukoliko pomerimo koordinatni početak u dodirnu tačku kruga i krive i još postavimo x osu da se poklopi sa tangentom krive u toj tački, prvi izvod postaje nula i jednačina poluprečnika krivine (zakrivljenosti krive) se svodi na:

$r=1/\left|y^{″}\right|$ .

Iz jednačina (4) i (5) mogu se za svaku tačku krive odrediti koordinate centra kruga zakrivljenosti -{p}- i -{q}-. Te tačke definišu novu krivu koja se naziva centroida.

Literatura

-{

• Coolidge, J.L. Шаблон:Cite journal (Jun. - Jul., 1952), pp. 375-379
• Curvature at the Encyclopaedia of Mathematics
• Morris Kline: Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Dover. Шаблон:Page(Шаблон:Google books)
• A. Albert Klaf: Calculus Refresher. Dover. Шаблон:Page(Шаблон:Google books)
• James Casey: Exploring Curvature. Vieweg+Teubner Verlag. Шаблон:Page.

}-