Апелов низ

Апелов низ представља низ полинома, који задовољавају идентитет:

$\frac{d}{dx}{p}_n(x)=n{p}_{n-1}(x),$

Добили су име по француском математичару Паулу Апелу. Поред тривијалнога примера { xⁿ } у Апелов низ спадају између осталих Ермитеови полиноми, Лагерови полиноми, Бернулијеви полиноми и Ојлерови полиноми.

Еквивалентни услови

Постоји више еквиувалентних услова за Апелов низ:

• За n = 1, 2, 3, ..,

$\frac{d}{dx}{p}_n(x)=n{p}_{n-1}(x)$

и p₀(x) је константа различита од нуле;

• За неке низове {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} уз 'c₀ ≠ 0,

$p_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})c_k{x}^{n-k};$

• За исте низове скалара,

$p_n(x)=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k}{k!}{D}^k\right)x^n,$

где је

$D=\frac{d}{dx};$

• За n = 0, 1, 2, ..,

$p_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_k(x)y^{n-k}.$

Рекурзија

Претпоставимо

$p_n(x)=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k}{k!}{D}^k\right)x^n=S{x}^n,$

где последња једнакост дефинише линеарни оператор S на простору полинома по x. Нека је инверзни оператор:

$T=S^{-1}={\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k}{k!}{D}^k\right)}^{-1}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{k!}{D}^k$

Тада су a_k реципрочни коефицијенти, тако да је

$T{p}_n(x)=x^n.$

Може да се дефинише:

$\log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{k!}{D}^k\right)$

користећи уобичајен развој функције log(1 + x), па се добија:

$p_{n+1}(x)=(x-(\log T{)}^{\prime })p_n(x).$

Подгрупа Шеферових полинома

Скуп свих Апелових низова затворен је за операције умбрал композиције низова полинома. Препоставимо да су задана два полиномна низа { p_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } и { q_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } и да су дана са:

$p_n(x)=\sum _{k=0}^n{a}_{n,k}{x}^k\text{i}{q}_n(x)=\sum _{k=0}^n{b}_{n,k}{x}^k.$

Онда је умбрал композиција p o q полиномни низ чији је n-ти члан дан са:

$(p_n\circ q)(x)=\sum _{k=0}^n{a}_{n,k}{q}_k(x)=\sum _{0\le k\le \ell \le n}{a}_{n,k}{b}_{k,\ell }{x}^{\ell }$

Шеферов низ је некомутативна група, тј није Абелова група. Међутим скуп свих Апелових низова је Абелова подгрупа Шиферове групе.

Литература

• Апелови полиномиШаблон:Мртва веза
• Шаблон:Citation, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 2e série, tome 9, 1880
• -{Steven Roman and Gian-Carlo Rota, Шаблон:Citation, Advances in Mathematics, volume 27, pages 95 – 188, }-
• -{G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, Шаблон:Cite journal. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975}-
• -{Steven Roman, The Umbral Calculus. Dover Publications}-
• Theodore Seio Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, Шаблон:Page1