Лагерови полиноми

Лагерови полиноми $L_n(x)$ представљају решења Лагерове диференцијалне једначине:

$x{y}^{″}+(1-x)y^{\prime }+ny=0$

Придружени Лагерови полиноми $L_n^{(\alpha )}(x)$ представљају решења од:

$x{y}^{″}+(\alpha +1-x)y^{\prime }+ny=0$

По први пут дефинисао их је француски математичар Едмон Лагер. Користе се и у квантној механици као решења радијалнога дела Шредингерове једначине једноелектронскога атома.

Првих шест Лагерових полинома

Родригезова формула и полиноми

Лагерови полиноми обично се означавају као L₀, L₁, ..., а полиномни низ може да се дефинише Родригезовом формулом:

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^n\right).$

Првих неколико полинома:

n	$L_n(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	$\frac{1}{2}(x^2-4x+2)$
3	$\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)$
4	$\frac{1}{24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)$
5	$\frac{1}{120}(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)$
6	$\frac{1}{720}(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)$

Генерирајућа функција Лагерових полинома је:

$\frac{e^{-xt/(1-t)}}{1-t}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n(x)t^n$.

Рекурзивне релације

Едмон Лагер

Лагерови полиноми могу да се дефинишу рекурзивно уз помоћ прва два полинома која су:

$L_0(x)=1$

$L_1(x)=1-x$

а рекурзивна релација је:

$(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-n{L}_{n-1}(x)$

Рекурзивна релација за изводе је:

$x{L_n}^{\prime }(x)=n{L}_n(x)-n{L}_{n-1}(x)$

Генерализирани Лагерови полиноми

Генерализирани Лагерови полиноми или придружени Лагерови полиноми $L_n^{(\alpha )}(x)$ представљају решења диференцијалне једаначине:

$x{y}^{″}+(\alpha +1-x)y^{\prime }+ny=0$

Родригезова формула за генерализиране полиноме је:

$L_n^{(\alpha )}(x)=\frac{x^{-\alpha }{e}^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^{n+\alpha }\right).$

Веза обичних и генерализираних Лагерових полинома је:

$L_n^k(x)=(-1{)}^k\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}{L}_{n+k}(x)$.

Обични Лагерови полиноми еквивалентни су генерализиранима полиномима ако је α = 0:

$L_n^{(0)}(x)=L_n(x).$

Неколико првих генерализираних Легерових полинома:

$L_0^k(x)=1$

$L_1^k(x)=-x+k+1$

$L_2^k(x)=\frac{1}{2}[x^2-2(k+2)x+(k+1)(k+2)]$

$L_3^k(x)=\frac{1}{6}[-x^3+3(k+3)x^2-3(k+2)(k+3)x+(k+1)(k+2)(k+3)]$

Ортогоналност

Придружени Лагерови полиноми ортогонални су у односу на тежинску функцију $x^{\alpha }{e}^{-x}$:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha }{e}^{-x}{L}_n^{(\alpha )}(x)L_m^{(\alpha )}(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{n!}{\delta }_{n,m},$

Веза са Ермитовим полиномима

Генерализирани лагерови полиноми повезани су са Ермитовим полиномима следећим релацијама:

$H_{2n}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n}n!L_n^{(-1/2)}(x^2)$

и

$H_{2n+1}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n+1}n!x{L}_n^{(1/2)}(x^2)$

где су $H_n(x)$ Ермитови полиноми.

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Шаблон:ISBN}-