Ојлерови полиноми

Ојлерови полиноми у математици представљају полиноме, који су добили име према Леонарду Ојлеру, а сусрећу се приликом изучавања многих специјалних функција, а посебно Риманове зета функције и Хурвицове зета функције. Блиско су повезани са Бернулијевим полиномима.

Општи облик

E_{m} (x) = \sum_{n = 0}^{m} \frac{1}{2^{n}} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x + k)^{m}

,

Генерирајућа функција Ојлерових полинома је:

\frac{2 e^{x t}}{e^{t} + 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} E_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} .

Неколико првих Ојлерових полинома:

E_{0} (x) = 1

E_{1} (x) = x - 1 / 2

E_{2} (x) = x^{2} - x

E_{3} (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{4}

E_{4} (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x

E_{5} (x) = x^{5} - \frac{5}{2} x^{4} + \frac{5}{2} x^{2} - \frac{1}{2}

E_{6} (x) = x^{6} - 3 x^{5} + 5 x^{3} - 3 x .

E_{n} (x + 1) + E_{n} (x) = 2 x^{n}

{E_{n}}^{'} (x) = n E_{n - 1} (x)

E_{n} (x + y) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) E_{k} (x) y^{n - k}

E_{n} (1 - x) = (- 1)^{n} E_{n} (x)

(- 1)^{n} E_{n} (- x) = - E_{n} (x) + 2 x^{n}

\int_{a}^{x} E_{n} (t) d t = \frac{E_{n + 1} (x) - E_{n + 1} (a)}{n + 1}

\int_{0}^{1} E_{n} (t) E_{m} (t) d t = (- 1)^{n} 4 (2^{m + n + 2} - 1) \frac{m! n!}{(m + n + 2)!} B_{n + m + 2}

-{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0}-
Ојлерови полиноми