Парцијална диференцијална једначина

Визуализација решења дводимензионалне једначине топлоте са температуром која је представљена трећом димензијом

Парцијална диференцијална једначина је диференцијална једначина која садржи претходно непознате функције са више променљивих и њихове парцијалне изводе. Користе се за формулисање проблема који укључују функције више променљивих, а решавају се ручно или се користе за креирање компјутерских модела. Посебан случај су обичне диференцијалне једначине које се баве функцијама једне променљиве и њиховим изводима.

Парцијалне диференцијалне једначине могу се користити за опис широког спектра феномена као што су звук, дифузија, топлота, електростатика, електродинамика, динамика флуида, еластичност или квантна механика. Баш као што обичне диференцијалне једначине често моделирају једнодимензионалне динамичке системе, парцијалне диференцијалне једначине често моделирају вишедимензионалне системе. Парцијалне диференцијалне једначине проналазе своју генерализацију у стохастичким парцијалним диференцијалним једначинама.

• Линеарна хомогена парцијална једначина је облика:

$P_1(x_1,...,x_n)\frac{\partial u}{\partial x_1}+...+P_n(x_1,...,x_n)\frac{\partial u}{\partial x_n}=0$.

• Квазилинеарна парцијална једначина је облика:

$P_1(x_1,...,x_n,u)\frac{\partial u}{\partial x_1}+...+P_n(x_1,...,x_n,u)\frac{\partial u}{\partial x_n}=P_{n+1}(x_1,...,x_n,u)$.

Увод

Парцијалне диференцијалне једначине (-{PDE}-) су једначине које садрже стопе промене у односу на континуиране променљиве. На пример, позиција чврстог тела је одређена са шест параметара, док је конфигурација флуида дата путем континуиране дистрибуције неколико параметара, као што су температура, притисак, и тако даље. Док се динамика крутог тела одвија у коначно димензионалном конфигурационом простору, динамика течности се јавља у бесконачно димензионалном конфигурационом простору. Ова разлика чини -{PDE}- знатно теже решивим од обичних диференцијалних једначина, али овде опет постоје једноставна решења за линеарне проблеме. Класични домени примене -{PDE}- обухватају акустику, динамику флуида, електродинамику, и топлотни трансфер.

Парцијална диференцијална једначина за функцију Шаблон:Math је једначина облика

$f(x_1,\dots x_n;u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\dots \frac{\partial u}{\partial x_n};\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1\partial x_1},\dots \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1\partial x_n};\dots )=0.$

Ако је Шаблон:Mvar линеарна функција Шаблон:Mvar и њених деривата, онда се PDE назива линеарном. Уобичајени примери линеарних -{PDE}- обухватају топлотну једначину, таласну једначину, Лапласову једначину, Хелмхолцову једначину, Клејн-Гордонову једначину и Поисонову једначину.

Једна релативно једноставна -{PDE}- је

$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=0.$

Ова релација подразумева да је функција Шаблон:Math независна од Шаблон:Mvar. Међутим, ова једначина не даје информације о зависности функције од променљиве Шаблон:Mvar. Стога је опште решење ове једначине

$u(x,y)=f(y),$

где је Шаблон:Mvar произвољна функција од Шаблон:Mvar. Аналогна обична диференцијална једначина је

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}(x)=0,$

која има решење

$u(x)=c,$

где је Шаблон:Mvar било која константна вредност. Ова два примера илуструју да општа решења обичних диференцијалних једначина обухватају произвољне константе, док решења парцијалних диференцијалних једначина обухватају произвољне функције. Решење -{PDE}- генерално није јединствено; додатни услови морају генерално да буду специфицирани на границама регије где је решење дефинисано. На пример, у горњем једноставном примеру, функција Шаблон:Math може да буде одређена ако је Шаблон:Mvar специфицирано на линији Шаблон:Math.

Постојање и јединственост

Док питање постојања и јединствености решења обичних диференцијалних једначина има веома задовољавајуће показатеље уз примену Пикарове теореме, то није тако у случају парцијалних диференцијалних једначина. Теорема Коши—Ковалевског наводи да Кошијев проблем за било коју парцијалну диференцијалну једначину чији су коефицијенти аналитички у непознатој функцији и њеним дериватима, има локално јединствено аналитичко решење. Иако се може стећи утисак да овај резултат решава постојање и јединственост решења, постоје примери линеарних парцијалних диференцијалних једначина чији коефицијенти имају изводе свих редова (који ипак нису аналитички) али који немају решења за све једначине. Чак и ако решења парцијалних диференцијалних једначина постоје и јединствена су, она упркос тога могу да имају нежељена својства. Математичка студија ових питања је обично у моћнијем контексту слабих решења.

Један приме патолошког понашања је секвенца (у зависности од Шаблон:Mvar) Кошијевих проблема за Лапласову једначину

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,$

са граничним условима

$\begin{array}{cc}u(x,0)& =0,\\ \frac{\partial u}{\partial y}(x,0)& =\frac{\sin nx}{n},\end{array}$

где је Шаблон:Mvar цео број. Извод Шаблон:Mvar у односу на Шаблон:Mvar униформно прилази нули у Шаблон:Mvar са повећањем Шаблон:Mvar, али је решење

$u(x,y)=\frac{\sinh ny\sin nx}{n^2}.$

Ово решење се приближава бесконачности ако Шаблон:Mvar није целобројни умножак Шаблон:Pi за било коју не-нулту вредност Шаблон:Mvar. Кошијев проблем за Лапласову једначину се назива лоше постављеним, јер решење континуирано не зависи од података проблема. Такви лоше постављени проблеми обично нису задовољавајући за физичке примене.

Нотација

У парцијалним диференцијалним једначинама је уобичајено да се парцијални деривати означе користећи индексе.

$u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$

$u_{xx}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u_{xy}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right).$

У физици се, del или набла (Шаблон:Math) често користе за означавање просторних извода, а Шаблон:Math за временске изводе. На пример, таласна једначина (доле описана) се може написати као

$\ddot{u}=c^2{\mathrm{\nabla }}^{2}u$

или

$\ddot{u}=c^2\mathrm{\Delta }u$

где је Шаблон:Math Лапласов оператор.

Види још

• Диференцијална једначина

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example problems with solutions at exampleproblems.com
• Partial Differential Equations at mathworld.wolfram.com
• Partial Differential Equations with Mathematica
• Partial Differential Equations Шаблон:Wayback in Cleve Moler: Numerical Computing with MATLAB
• Partial Differential Equations at nag.com
• Dispersive PDE Wiki
• NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia Шаблон:Wayback
• Partial differential equation | Scholarpedia