Хуков закон

Хуков закон: сила је пропорционална продужењу

Бурдонове цеви су засноване на Хуковом закону. Сила створена притиском гаса унутар намотане металне цеви изнад је одмотава за количину пропорционалну притиску.

Равнотежни точак је у сржи многих механичких сатова зависи од Хуковог закона. Пошто је обртни моменат који генерише намотана опруга пропорционалан углу за који се точак окреће, његове осцилације имају скоро константан период.

У механици, Хуков закон еластичности је апроксимација која казује да је релативна деформација еластичног тела, у одређеним границама, директно пропорционална напону који на њега делује. Закон је назван по Роберту Хуку, енглеском физичару из 17. века, који га је открио и 1675. изразио латинским анаграмом: -{ceiiinosssttuu}-. Решење анаграма је објавио 1676. године као: Шаблон:Јез (= Колико истезање, толика сила). He published the solution of his anagram in 1678 as: ut tensio, sic vis ("as the extension, so the force" or "the extension is proportional to the force"). Hooke states in the 1678 work that he was aware of the law since 1660.

У овом првобитном облику, закон се односио пре свега на опруге, тј. чињеницу да је сила коју опруга производи пропорционална њеном истезању или сабијању:

$F=-k\mathrm{\Delta }x$

Где је:

$F$ — сила коју опруга производи, знак „—“ означава супротан смер од помераја. Ако је опруга истегљена, њена сила ће тежити да је скупи и супортно, ако је опруга скупљена, сила опруге ће тежити да је рашири
$k$ — константа еластичности (коефицијент пропорционалности)
$\mathrm{\Delta }x$ — означава промену дужине при растезању или скупљању опруге у односу на њен основни, природни положај. Знак $\mathrm{\Delta }$ није обавезан, али обично се користи као ознака за промену

Данас је познато да Хуков закон важи за широк спектар еластичних тела, која се називају линеарно-еластичним телима, при деформацијама (истезање, увијање и сл.) које она трпе под утицајем сила. За свако такво тело, закон важи само у одређеним границама карактеристичним за њега — напон не сме прећи тзв. границу еластичности. Линеарни однос између деформације и напона је одређен константом пропорционалности, која се у зависности од типа деформације различито назива, такође карактеристичном за дато тело. Граница еластичности и константа пропорционалности зависе од природе материјала од кога је дато тело начињено и од осталих његових особина.

Формална дефиниција

За линеарне опруге

Замислимо једноставну спиралну опругу која има један крај причвршћен за неки фиксни предмет, док слободни крај вуче сила чија је величина Шаблон:Mvar. Претпоставимо да је опруга достигла стање равнотеже, где се њена дужина више не мења. Нека је Шаблон:Mvar количина за коју је слободни крај опруге померен из свог „опуштеног” положаја (када није истегнут). Хуков закон наводи да

$F_s=kx$

или, еквивалентно,

$x=\frac{F_s}{k}$

где је Шаблон:Mvar позитиван реалан број, карактеристичан за опругу. Штавише, иста формула важи и када је опруга компримована, при чему су Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar оба негативна у том случају. Према овој формули, график примењене силе Шаблон:Mvar као функције померања Шаблон:Mvar биће права линија која пролази кроз координатни почетак, чији је нагиб Шаблон:Mvar.

Хуков закон за опругу се понекад, али ретко, наводи под конвенцијом да је Шаблон:Mvar сила враћања коју опруга врши на било шта што вуче њен слободни крај. У том случају, једначина постаје

$F_s=-kx$

пошто је правац силе враћања супротан од смера померања.

Опште „скаларне” опруге

Хуков закон опруге обично се примењује на било који еластични објекат, произвољне сложености, све док се и деформација и напон могу изразити једним бројем који може бити и позитиван и негативан.

На пример, када се блок гуме причвршћен за две паралелне плоче деформише смицањем, а не истезањем или компресијом, сила смицања Шаблон:Math и бочно померање плоча Шаблон:Mvar поштују Хуков закон (за довољно мале деформације).

Хуков закон се такође примењује када је равна челична шипка или бетонска греда (попут оне која се користи у зградама), ослоњена на оба краја, савијена теретом Шаблон:Mvar постављеном у некој међутачки. Померање Шаблон:Mvar у овом случају је одступање греде, мерено у попречном правцу, у односу на њен неоптерећени облик.

Закон се такође примењује када се истегнута челична жица уврне повлачењем полуге причвршћене на једном крају. У овом случају напрезање Шаблон:Mvar се може узети као сила примењена на полугу, а Шаблон:Mvar као растојање које она пређе дуж своје кружне путање. Или, еквивалентно, може се дозволити да Шаблон:Mvar буде обртни момент који полуга примењује на крај жице, а Шаблон:Mvar је угао за који се тај крај окреће. У оба случаја Шаблон:Mvar је пропорционалан Шаблон:Mvar (иако је константа Шаблон:Mvar различита у сваком случају.)

Векторска формулација

У случају спиралне опруге која је истегнута или сабијена дуж своје осе, примењена (или обнављајућа) сила и резултирајуће издужење или компресија имају исти смер (који је правац наведене осе). Према томе, ако су Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar дефинисани као вектори, Хукова једначина и даље важи и наводи да је вектор силе вектор елонгације помножен фиксним скаларом.

Општи тензорски облик

Нека еластична тела ће се деформисати у једном правцу када су изложена сили у другом правцу. Један пример је хоризонтална дрвена греда неквадратног правоугаоног пресека која је савијена попречним оптерећењем које није ни вертикално ни хоризонтално. У таквим случајевима, величина померања Шаблон:Mvar биће пропорционална величини силе Шаблон:Mvar, све док смер ове друге остаје исти (а њена вредност није превелика); те ће важити скаларна верзија Хуковог закона Шаблон:Math. Међутим, вектори силе и померања неће бити скаларни вишекратници један другог, пошто имају различите правце. Штавише, однос Шаблон:Mvar између њихових величина зависиће од правца вектора Шаблон:Mvar.

Ипак, у таквим случајевима често постоји фиксни линеарни однос између вектора силе и деформације, све док су довољно мали. Наиме, постоји функција Шаблон:Mvar од вектора до вектора, таква да је Шаблон:Math, и Шаблон:Math за било које реалне бројеве Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и све векторе померања Шаблон:Math, Шаблон:Math. Таква функција се назива тензор (другог реда).

У односу на произвољан Декартов координатни систем, вектори силе и померања могу бити представљени 3 × 1 матрицама реалних бројева. Тада тензор Шаблон:Math који их повезује може бити представљен 3 × 3 матрицом Шаблон:Mvar реалних коефицијената, која, када се помножи са вектором померања, даје вектор силе:

$𝐅=\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\kappa }_{11}& {\kappa }_{12}& {\kappa }_{13}\\ {\kappa }_{21}& {\kappa }_{22}& {\kappa }_{23}\\ {\kappa }_{31}& {\kappa }_{32}& {\kappa }_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\end{array}\right]=\mathit{\kappa }𝐗$

То је,

$F_i={\kappa }_{i1}{X}_1+{\kappa }_{i2}{X}_2+{\kappa }_{i3}{X}_3$

за Шаблон:Math. Стога се може рећи да Хуков закон Шаблон:Math важи и када су Шаблон:Math и Шаблон:Math вектори са променљивим правцима, осим што је крутост објекта тензор Шаблон:Mvar, а не један реалан број Шаблон:Mvar.

Хуков закон за континуиране медије

(a) Шема полимерне наноопруге. Полупречник завојнице, -{R}-, корак, -{P}-, дужина опруге, -{L}-, и број завоја, -{N}-, су 2,5 -{μм}-, 2,0 -{μм}-, 13 -{μм}- и 4. Електронске микрофотографије наноопруге, пре напињања (-{b-e}-), растегнуте (f), компримоване (г), савијене (-{g}-) и опорављене (-{i}-). Све траке скале су 2 -{μm}-. Опруга прати линеарни одговор на примењену силу, демонстрирајући валидност Хуковог закона на наноразмерама.

Напони и напрезања материјала унутар континуираног еластичног материјала (као што је блок гуме, зид котла или челична шипка) повезани су линеарним односом који је математички сличан Хуковом закону опруге и често се назива да под тим именом.

Међутим, стање деформације у чврстој средини око неке тачке не може се описати једним вектором. Исти комад материјала, ма колико мали, може се истовремено сабијати, растезати и резати у различитим правцима. Исто тако, напрезања у том сегменту могу бити истовремено гурање, повлачење и смицање.

Да би се описала ова сложеност, релевантно стање средине око тачке мора бити представљено тензорима од две секунде, тензором деформације Шаблон:Math (уместо померања Шаблон:Math) и тензором напона Шаблон:Math (који замењује повратну силу Шаблон:Math). Аналог Хуковог закона опруге за континуиране медије је онда

$\mathit{\sigma }=𝐜\mathit{\epsilon },$

где је Шаблон:Math тензор четвртог реда (то јест, линеарна мапа између тензора другог реда) који се обично назива тензор крутости или тензор еластичности. То се може написати као

$\mathit{\epsilon }=𝐬\mathit{\sigma },$

при чему тензор Шаблон:Math, назван тензор усклађености, представља инверзну линију наведене линеарне мапе.

У картезијанском координатном систему, тензори напона и деформација могу бити представљени 3 × 3 матрицама

$\mathit{\epsilon }=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right];\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]$

Будући да је линеарно пресликавање између девет бројева Шаблон:Math и девет бројева Шаблон:Math, тензор крутости Шаблон:Math је представљен матрицом од 3 × 3 × 3 × 3 = 81 реални број Шаблон:Math. Хуков закон онда наводи

${\sigma }_{ij}=\sum _{k=1}^3\sum _{l=1}^3{c}_{ijkl}{\epsilon }_{kl}$

где је Шаблон:Math.

Сва три тензора генерално варирају од тачке до тачке унутар медија, а могу варирати и са временом. Тензор деформације Шаблон:Math само специфицира померање честица медијума у околини тачке, док тензор напона Шаблон:Math специфицира силе којима суседни сегменти медијума делују једни на друге. Стога су оне независне од састава и физичког стања материјала. Тензор крутости Шаблон:Math, с друге стране, својство је материјала и често зависи од варијабли физичког стања као што су температура, притисак и микроструктура.

Због инхерентних симетрија Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math, само 21 еластични коефицијент последњег је независан. Овај број се може додатно смањити симетријом материјала: 9 за орторомбни кристал, 5 за хексагоналну структуру и 3 за кубну симетрију. За изотропне медије (који имају исте физичке особине у било ком правцу), Шаблон:Math се може свести на само два независна броја, модул запремине Шаблон:Mvar и модул смицања Шаблон:Mvar, који квантификују отпорност материјала на промене запремине и деформације смицања.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Walter Lewin explains Hooke's law. From Шаблон:Cite video
• A test of Hooke's law. From Шаблон:Cite video

Спољашње везе

• JavaScript Applet demonstrating Springs and Hooke's law
• JavaScript Applet demonstrating Spring Force