Obična diferencijalna jednačina

U matematici, obična diferencialna jednačina (ODE) je diferencijalna jednačina koja sadrži jednu ili više funkcija sa jednom nezavisnom promenljivom i izvodima tih funkcija. Termin obična se koristi u kontrastu sa terminom parcijalna diferencijalna jednačina, koja može biti definsana u odnosu na više od jedne nezavisne promenljive.

Diferencijalne jednačine

Linearna diferencijalna jednačina je diferencijalna jednačina koja je definisana pomoću linearnog polinoma u nepoznatoj funkciji i njenim derivatima. Drugim rečima to je jednačina oblika

$a_0(x)y+a_1(x)y^{\prime }+a_2(x)y^{″}+\cdots +a_n(x)y^{(n)}+b(x)=0,$

gde su Шаблон:Tmath, ..., Шаблон:Tmath i Шаблон:Tmath proizvoljne diferencijabilne funkcije koje ne moraju da budu linearne, a Шаблон:Tmath su sukcesivni derivati nepoznate funkcije Шаблон:Mvar promenljive Шаблон:Mvar.

Među običnim diferencijalnim jednadžbama, linearne diferencijalne jednačine igraju istaknutu ulogu iz više razloga. Većina elementarnih i specijalnih funkcija koje se susreću u fizici i primenjenoj matematici su rešenja linearnih diferencijalnih jednačina (pogledajte Holonomsku funkciju). Kada se fizički fenomeni modeluju nelinearnim jednačinama, oni se obično aproksimiraju linearnim diferencijalnim jednačinama radi lakšeg rešenja. Nekoliko nelinearnih ODE koje se mogu eksplicitno rešiti generalno se rešavju pretvaranjem jednačine u ekvivalentne linearne ODE (pogledajte, na primer, Rikatijevu jednačinu).

Neke ODE se mogu eksplicitno rešiti u smislu poznatih funkcija i integrala. Kada to nije moguće, jednačina za računanje Tejlorove serije rešenja može biti korisna. Za primenjene probleme, numerički metodi za obične diferencijalne jednačine mogu da daju približnu vrednost rešenja.

Zaleđina

Trajektorija projektila lansiranog iz topa sledi krivu određenu običnom diferencijalnom jednačinom koja je izvedena iz drugog Njutnovog zakona.

Obične diferencijalne jednačine (ODE) se javljaju u mnogim kontekstima matematike, i društvenih i prirodnih nauka. Matematički opisi promena koriste diferencijale i derivate. Razni diferencijali, derivati i funkcije postaju povezani putem jednačina, tako da je diferencijalna jednačina rezultat koji opisuje dinamički promenljive pojave, evoluciju i varijacije. Često se količine definišu kao brzina promene drugih količina (na primer, derivati premeštanja s obzirom na vreme), ili gradijenti količina, tako da se unose diferencijalne jednačine.

Specifična matematička polja uključuju geometriju i analitičku mehaniku. Naučna područja uključuju u znatnoj meri fiziku i astronomiju (nebesku mehaniku), meteorologiju (modelovanje vremenskih prilika), hemiju (stope reakcije), biologiju (zarazne bolesti, genetske varijacije), ekologiju i modelovanje populacije (populaciono nadmetanje), ekonomiju (trendovi deonica, promene kamatnih stopa i tržišna ravnoteža promena cena).

Mnogi matematičari su izučavali diferencijalne jednačine i doprineli ovom polju, uključujući Njutna, Lajbnica, porodicu Bernuli, Rikatija, Klera, d'Alembera, i Ojlera.

Jednostavan primer je drugi Njutnov zakon kretanja — odnos između pomeranja x i vremena -{t}- objekta pod dejstvom sile -{F}-, dat je diferencijalnom jednačinom

$m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x(t)}{\mathrm{d}{t}^2}=F(x(t))$

što ograničava kretanje čestice konstantne mase -{m}-. Generalno, -{F}- je funkcija pozicije -{x(t)}- čestice u vremenu -{t}-. Nepoznata funkcija -{x(t)}- se javlja na obe strane ove diferencijalne jednačine, i to je naznačeno notacijom -{F(x(t))}-.

Definicije

Neka je y zavisna promenljiva i x nezavisna promenljiva, i -{y = f(x)}- nepoznata funkcija od x. Notacija za diferencijaciju varira u zavisnosti od autora i od toga koja je notacija najkorisnija za dati zadatak. U tom kontekstu, Lajbnicova notacija (-{dy/dx,d²y/dx²,...,dⁿy/dxⁿ}-) je korisnija za diferencijaciju i integraciju, dok je Lagranžova notacija (-{y′,y′′, ..., y⁽ⁿ⁾}-) podesnija za kompaktno predstavljanje derivata bilo kog reda, a Njutnova notacija $(\dot{y},\ddot{y},\stackrel{...}{y})$ se često koristi u fizici za predstavljanje derivata niskog reda s obzirom na vreme.

Opšta definicija

Za dato -{F}-, funkciju od x, y, i derivate od y, jednačina oblika

$F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})=y^{(n)}$

se naziva eksplicitnom običnom diferencijalnom jednačinom reda -{n}-.

Generalnije, implicitna obična diferencijalna jednačina reda -{n}- poprima formu:

$F(x,y,y^{\prime },y^{″},\dots ,y^{(n)})=0$

Postoje dalje klasifikacije: Шаблон:Glossary Шаблон:TermШаблон:Defn Шаблон:TermШаблон:Defn Шаблон:Glossary Шаблон:TermШаблон:Defn Шаблон:TermШаблон:Defn Шаблон:Glossary end

Sistem običnih diferencijalnih jednačina

Više spregnutih diferencijalnih jednačina formira sistem jednačina. Ako je y vektor čiji su elementi funkcije; y(x) = [y₁(x), y₂(x),..., y_m(x)], i -{F}- je vektorska funkcija od y i njenih derivata, onda je

${𝐲}^{(n)}=𝐅(x,𝐲,{𝐲}^{\prime },{𝐲}^{″},\dots ,{𝐲}^{(n-1)})$

eksplicitni sistem običnih diferencijalnih jednačina reda -{n}- i dimenzije -{m}-. U obliku kolonog vektora:

$\left(\begin{array}{c}{y}_1^{(n)}\\ y_2^{(n)}\\ ⋮\\ y_m^{(n)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x,𝐲,{𝐲}^{\prime },{𝐲}^{″},\dots ,{𝐲}^{(n-1)})\\ f_2(x,𝐲,{𝐲}^{\prime },{𝐲}^{″},\dots ,{𝐲}^{(n-1)})\\ ⋮\\ f_m(x,𝐲,{𝐲}^{\prime },{𝐲}^{″},\dots ,{𝐲}^{(n-1)})\end{array}\right)$

One nisu nužno linearne. Implicitni analog je:

$𝐅(x,𝐲,{𝐲}^{\prime },{𝐲}^{″},\dots ,{𝐲}^{(n)})=0$

gde je 0 = (0, 0, ..., 0) nulti vektor. U matričnom obliku

$\left(\begin{array}{c}{f}_1(x,𝐲,{𝐲}^{\prime },{𝐲}^{″},\dots ,{𝐲}^{(n)})\\ f_2(x,𝐲,{𝐲}^{\prime },{𝐲}^{″},\dots ,{𝐲}^{(n)})\\ ⋮\\ f_m(x,𝐲,{𝐲}^{\prime },{𝐲}^{″},\dots ,{𝐲}^{(n)})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$

Za sistem oblika $𝐅(x,𝐲,{𝐲}^{\prime })=0$, neki izvori takođe zahtevaju da Jakobijan $\frac{\partial 𝐅(x,𝐮,𝐯)}{\partial 𝐯}$ bude invertabilan da bi se sistem smatrao implicitnim ODE sistemom. Takav sistem koji zadovoljava uslov odsustva singularnosti Jakobijana se može transformisati u eksplicitni ODE sistem. U nekim izvorima, implicitni ODE sistemi sa singularnim Jakobijanom se nazivaju diferencijalnim algebrskim jednačinama (DAE). Ova razlika nije samo terminološka. DAE imaju suštinski različite karakteristike i uglavnom su više uključeni u rešavanje od (nesingularnih) ODE sistema. Radi dodatnih derivata, pretpostavlja se da Hesijanska matrica i tako dalje nisu singularne prema ovoj šemi, mada treba imati u vidu da bilo koja ODE reda većeg od jedan može da bude [i obično se] izražava kao sistem ODE prvog reda, što čini Jakobijev kriterijum singularnosti dovoljnim da ova taksonomija bude sveobuhvatna u svim redovima.

Ponašanje ODE sistema može se vizualizovati korišćenjem faznog portreta.

Rešenja

Za datu diferencijalnu jednačinu

$F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})=0$

funkcija Шаблон:Nowrap se naziva rešenjem ili integralnom krivom za -{F}-, ako je -{u}- -{n}--puta diferencijabilno na I, i

$F(x,u,u^{\prime },\dots ,u^{(n)})=0x\in I.$

Unitar dva rešenja Шаблон:Nowrap i Шаблон:Nowrap, -{u}- se naziva ekstenzijom od -{v}- ako je Шаблон:Nowrap i

$u(x)=v(x)x\in I.$

Rešenje koje nema ekstenziju se naziva maksimalno rešenje. Rešenje definisano na celokupnom -{R}- se naziva globalno rešenje.

Opšte rešenje jedne jednačine -{n}--tog reda je rešenje koje sadrži -{n}- proizvoljnih nezavisnih konstanti integracije. Partikularno rešenje se izvodi iz opšteg rešenja usvajanjem partikularnih vrednosti konstanti, koje se obično biraju da zadovolje skup inicijalnih ili graničnih uslova. Singularno rešenje je rešenje koje se ne može dobiti dodeljivanjem konačnih vrednosti proizvoljnim konstantama u opštem rešenju.

Literatura

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. Шаблон:Isbn
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
• Шаблон:Citation
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Шаблон:Isbn
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. Шаблон:Isbn
• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

Spoljašnje veze

• Шаблон:Springer
• Шаблон:Dmoz (includes a list of software for solving differential equations).
• -{EqWorld: The World of Mathematical Equations, containing a list of ordinary differential equations with their solutions.}-
• -{Online Notes / Differential Equations by Paul Dawkins, Lamar University.}-
• -{Differential Equations, S.O.S. Mathematics.}-
• -{A primer on analytical solution of differential equations from the Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.}-
• -{Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems lecture notes by Gerald Teschl.}-
• -{Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC.}-
• -{Modeling with ODEs using Scilab A tutorial on how to model a physical system described by ODE using Scilab standard programming language by Openeering team.}-
• -{Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha}-