Рикатијева једначина

Рикатијева једначина је диференцијална једначина облика:

$y^{\prime }=P(x)+Q(x)y+R(x)y^2$,

где су $P(x)\ne 0$ и $R(x)\ne 0$. У случају $P(x)=0$ једнака је Бернулијевој једначини. Добила је име по италијанском математичару Јакопу Рикатију.

Редукција на линеарну једначину другога реда

Нелинеарна Рикатијева једначина:

$y^{\prime }=q_0(x)+q_1(x)y+q_2(x)y^2$

може да се редукује на линеарну диференцијалну једначину другога реда, па се онда решавањем те једначине може да се реши и Рикатијева једначина. У случају да $q_2$ није једнак нули тада се супституцијом $v=y{q}_2$ од Рикатијеве једначине добија:

$v^{\prime }=(y{q}_2{)}^{\prime }=y^{\prime }{q}_2+y{q_2}^{\prime }=(q_0+q_{1}y+q_2{y}^2)q_2+v\frac{{q_2}^{\prime }}{q_2}=q_0{q}_2+(q_1+\frac{{q_2}^{\prime }}{q_2})v+v^2.$.

Ако ту означимо $S=q_2{q}_0$ и $R=q_1+\left(\frac{{q_2}^{\prime }}{q_2}\right)$ онда Рикатијева једначина постаје облика:

$v^{\prime }=v^2+R(x)v+S(x).$

Уведемо ли супституцију $v=-u^{\prime }/u$ онда следи:

$v^{\prime }=-(u^{\prime }/u{)}^{\prime }=-(u^{″}/u)+(u^{\prime }/u{)}^2=-(u^{″}/u)+v^2$ и одатле:

$u^{″}/u=v^2-v^{\prime }=-S-Rv=-S+R{u}^{\prime }/u$

односно добија се диференцијална једначина за $u$:

$u^{″}-R(x)u^{\prime }+S(x)u=0$

Решавање интеграцијом

Знамо ли једно од парцијалних решења $y_1$ Рикатијеве једначине тада се опште решење може представити као:

$y=y_1+u$

Супституцијом тога решења у Рикатијевој једначини добијамо:

${y_1}^{\prime }+u^{\prime }=q_0+q_1\cdot (y_1+u)+q_2\cdot (y_1+u{)}^2,$

и онда:

${y_1}^{\prime }=q_0+q_1{y}_1+q_2{y}_1^2$

$u^{\prime }=q_{1}u+2q_2{y}_{1}u+q_2{u}^2$

тј. добија се Бернулијева диференцијална једначина:

$u^{\prime }-(q_1+2q_2{y}_1)u=q_2{u}^2,$.

Бернулијеву једначину решавамо супституцијом

$z=\frac{1}{u}$ тј.

$y=y_1+\frac{1}{z}$

па се од Рикатијеве једначине добија линеарна једначина:

$z^{\prime }+(q_1+2q_2{y}_1)z=-q_2$

Литература

• Рикатијева једначина
• -{Hille, Einar (1997) [1976], Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, New York: Dover Publications, Шаблон:ISBN}-