Binomna raspodela

Binomna distribucija za $p=0,5$
sa -{n}- i -{k}- kao u Paskalovom trouglu
Verovatnoća da će kugla u Galtonovoj kutiji sa 8 slojeva (-{n}- = 8) završiti u centralnoj kutiji (-{k}- = 4) je $70/256$.

U teoriji verovatnoće i statistici, binomna raspodela sa parametrima -{n}- i -{p}- je diskretna raspodela verovatnoće broja uspeha u sekvenci od -{n}- nezavisnih eksperimenata, svaki od kojih daje odgovor na da-ne pitanje, i svaki ima svoj bulov rezultat - uspeh/da/tačno/jedan (sa verovatnoćoḿ -{p}-) ili neuspeh/ne/lažno/nula (sa verovatnoćom q = 1 − -{p}-). Pojedinačni uspeh/neuspeh eksperimenta se takođe naziva Bernulijev pokušaj ili Bernulijev eksperiment, a sekvenca ishoda se naziva Bernulijev proces; za pojedinačni pokušaj, i.e., -{n}- = 1, binomna distribucija je Bernulijeva raspodela. Binomna distribucija je osnova za popularni binomni test statističkog značaja.

Binomna distribucija se često koristi za modelovanje broja uspeha u uzorku veličine -{n}- koji je izvučen sa zamenom iz populacije veličine -{N}-. Ako se uzorkovanje vrši bez zamene, izvlačenja nisu nezavisna, pa je rezultirajuća raspodela hipergeometrijska, a ne binomna. Međutim, za -{N}- mnogo veće od -{n}-, binomna distribucija ostaje dobra aproksimacija i široko se koristi.

Specifikacija

Funkcija verovatnoće

Generalno, ako randomna promenljiva X sledi binomnu distribuciju sa parametrima -{n}- ∈ -{ℕ}- i -{p}- ∈ [0,1], piše se X ~ -{B(n, p)}-. Verovatnoća da se dobije tačno -{k}- uspeha u -{n}- pokušaja je data funkcijom verovatnoće:

$f(k,n,p)=Pr(k;n,p)=Pr(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

za -{k}- = 0, 1, 2, ..., n, gde je

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

binomni koeficijent, po kome je raspodela dobila ime. Formula se može razumeti na sledeći način. -{k}- uspeha se javlja sa verovatnoćom -{p^k}- i -{n − k}- neuspeha se javlja sa verovatnoćom -{(1 − p)^n − k}-. Međutim, -{k}- uspeha se može javiti bilo gde među -{n}- pokušaja, i postoji $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ različitih načina raspodeljivanja -{k}- uspeha u nizu od -{n}- pokušaja.

Pri stvaranju referentnih tabela za verovatnoću binomne distribucije, obično se tabela popunjava do -{n}-/2 vrednosti. To je zato što se za -{k > n/2}-, verovatnoća može izračunati njenim komplementom kao

$f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).$

Gledajući izraz -{f(k, n, p)}- kao funkciju od -{k}-, postoji -{k}- vrednosti koje je maksimiziraju. Stoga se -{k}- vrednost može naći izračunavajući

$\frac{f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}=\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}$

i upoređujući tu vrednost sa 1. Uvek postoji ceo broj M koji zadovoljava

$(n+1)p-1\le M<(n+1)p.$

-{f(k, n, p)}- je monotono rastući za -{k < M}- i monotono opadajući za -{k > M}-, uz izuzetak slučaja gde je -{(n + 1)p}- ceo broj. U tom slučaju, postoje dve vrednosti za koje je -{f}- maksimalno: -{(n + 1)p}- i -{(n + 1)p − 1}-. -{M}- je najverovatniji ishod (mada još uvek može da bude sveukupno malo verovatan) Bernulijevih pokušaja i naziva se modus.

Funkcija kumulativne verovatnoće

Funkcija kumulativne verovatnoće se može izraziti kao:

$F(k;n,p)=Pr(X\le k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}$

gde je $\lfloor k\rfloor$ „pod” ispod -{k}-, i.e. najveći ceo broj manji od ili jedna sa -{k}-.

On se može predstaviti u vidu regulisane nekompletne beta funkcije, na sledeći način:

$\begin{array}{cc}F(k;n,p)& =Pr(X\le k)\\ & =I_{1-p}(n-k,k+1)\\ & =(n-k)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\int }_0^{1-p}{t}^{n-k-1}(1-t{)}^{k}dt.\end{array}$

Neki granični slučajevi zatvorenog oblika za funkciju kumulativne distribucije dati su u nastavku.

Primer

Pretpostavka je da se pristranim bacanjem novčića dobija glava sa verovatnoćom 0,3. Pitanje je: koja je verovatnoća postizanja 0, 1, ..., 6 glava posle šest bacanja?

$Pr(0\text{ heads})=f(0)=Pr(X=0)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})0.3^0(1-0.3{)}^{6-0}=0.117649$

$Pr(1\text{ heads})=f(1)=Pr(X=1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})0.3^1(1-0.3{)}^{6-1}=0.302526$

$Pr(2\text{ heads})=f(2)=Pr(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})0.3^2(1-0.3{)}^{6-2}=0.324135$

$Pr(3\text{ heads})=f(3)=Pr(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})0.3^3(1-0.3{)}^{6-3}=0.18522$

$Pr(4\text{ heads})=f(4)=Pr(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})0.3^4(1-0.3{)}^{6-4}=0.059535$

$Pr(5\text{ heads})=f(5)=Pr(X=5)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})0.3^5(1-0.3{)}^{6-5}=0.010206$

$Pr(6\text{ heads})=f(6)=Pr(X=6)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})0.3^6(1-0.3{)}^{6-6}=0.000729$

Očekivanje

Ako je -{X ~ B(n, p)}-, drugim rečima, X je binomno distribuirana randomna promenljiva, pri čemu je -{n}- ukupan broj eksperimenata, a -{p}- je verovatnoća svakog eksperimenta da proizvede uspešan rezultat, onda je očekivana vrednost X:

$\mathrm{E}[X]=np.$

Na primer, ako je -{n}- = 100, i -{p}- = 1/4, onda je prosečan broj uspešnih rezultata 25.

Proof: Srednja vrednost, μ, se direktno izračunava po definiciji

$\mu =\sum _{i=0}^n{x}_i{p}_i,$

i binomnoj teoremi:

$\begin{array}{cc}\mu & =\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =np\sum _{k=0}^{n}k\frac{(n-1)!}{(n-k)!k!}{p}^{k-1}(1-p{)}^{(n-1)-(k-1)}\\ & =np\sum _{k=1}^n\frac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}{p}^{k-1}(1-p{)}^{(n-1)-(k-1)}\\ & =np\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})p^{k-1}(1-p{)}^{(n-1)-(k-1)}\\ & =np\sum _{\ell =0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{\ell })p^{\ell }(1-p{)}^{(n-1)-\ell }& & \text{sa }\ell :=k-1\\ & =np\sum _{\ell =0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{\ell })p^{\ell }(1-p{)}^{m-\ell }& & \text{sa }m:=n-1\\ & =np(p+(1-p){)}^m\\ & =np\end{array}$

Srednja vrednost se može izvesti iz jednačine $X=X_1+\cdots +X_n$ gde su sve randomne promenljive $X_i$ obuhvaćene Bernulijevom raspodelom sa $E[X_i]=p$ ($X_i=1$ ako -{i}--ti eksperiment uspe, dok je inače $X_i=0$). Dobija se: $E[X]=E[X_1+\cdots +X_n]=E[X_1]+\cdots +E[X_n]=\underset{n\text{ puta}}{\underbrace{p+\cdots +p}}=np$

Varijansa

Varijansa je:

$\mathrm{Var}(X)=np(1-p).$

Dokaz: Neka je $X=X_1+\cdots +X_n$ gde su sve $X_i$ nezavisne randomne promenljive Bernulijeve raspodele. Kako je $\mathrm{Var}(X_i)=p(1-p)$, dobija se:

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(X_1+\cdots +X_n)=\mathrm{Var}(X_1)+\cdots +\mathrm{Var}(X_n)=n\mathrm{Var}(X_1)=np(1-p).$

Literatura

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book

Spoljašnje veze

• -{Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships}-
• -{Binomial distribution formula calculator Шаблон:Wayback}-
• -{Difference of two binomial variables: X-Y}-
• -{Querying the binomial probability distribution in WolframAlpha}-
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Cite journal