Подгрупа (математика)

Подгрупа групе $G$ је непразан скуп $H$ који је сам група у односу на бинарну операцију * дефинисану у групи. Другим речима, $H$ је подгрупа $G$ ако је рестрикција * на $H$ операција групе на $H$. Ознака подгрупе $H$ групе $G$ је $H<G$.

Дефинисана преко хомоморфизма, $H$ је подгрупа групе $G$ ако и само ако је $H$ подскуп од $G$ и постоји инклузиони хомоморфизам из $H$ у $G$, односно $i(a)=a$ за свако $a$.

Права погрупа групе $G$ је подгрупа $H$, која је прави подскуп од $G$ (т. ј. $H\ne G$). Тривијална подгрупа било које групе је подгрупа $\left\{e\right\}$ која се састоји само од неутрала. Ако је $H$ подгрупа од $G$, понекад се каже да је $G$ надгрупа $H$.

Основна својства подгрупа

Теорема:

• Непразан подскуп $H$ скупа $G$ је подгрупа $H$ групе $G$ ако и само ако је $H$ затворена у односу на множење и инвертовање елемената. Затвореност за производе и инверзе подразумева да кад год су $a$ и $b$ унутар $H$, тада је и $ab$ и $a^{-1}$ су такође унутар $H$. Ова два услова могу да се споје у један еквивалентан услов: кад год су $a$ и $b$ унутар $H$, тада је и $a{b}^{-1}$ унутар $H$
• Непразан подскуп $H$ скупа $G$ је подгрупа $H$ групе $G$ ако и само ако за свака два елемента $h,h^{\prime }$ из $H$, и елемент $h^{-1}{h}^{\prime }$ припада $H$.
• Непразан подскуп $H$ коначног скупа $G$ је подгрупа $H$ групе $G$ ако и само ако је скуп $H$ затворен у односу на множење. У овом случају, сваки елемент $a$ из $H$ генерише коначну цикличну подгрупу од $H$, и инверз $a$ је тада $a^{-1}=a^{n-1}$, где је $n$ ред $a$.

Особине подгрупа

• Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је $G$ група са неутралом $e_G$, и $H$ је подгрупа $G$ са неутралом $e_H$, тада је $e_H=e_G$.
• Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је $H$ подгрупа $G$, и $a$ и $b$ су елементи $H$, такви да $ab=ba=e_H$, тада $ab=ba=e_G$.
• Пресек подгрупа $A$ и $B$ групе $G$ је такође подгрупа. Унија $A$ и $B$ је подгрупа ако и само ако или $A$ садржи $B$ или обратно, јер на пример 2 и 3 су у унији $2Z$ и $3Z$ али њихова сума 5 није.
• Ако је $S$ подскуп $G$, тада постоји најмања подгрупа која садржи $S$, која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже $S$; ово се означава као $<S>$ и назива се подгрупом генерисаном $S$-ом. Елемент $G$ је унутар $<S>$ ако и само ако је коначан производ елемената $S$ и њихових инверза.
• Сваки елемент $a$ групе $G$ одређује (генерише) цикличну подгрупу $<a>$. Ако је $<a>$ изоморфно са $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ за неки позитиван цео број $n$, онда је $n$ најмањи позитиван цео број за који $a^n=e$, и $n$ се назива редом $a$. Ако је $<a>$ изоморфно са $Z$, тада се каже да је $a$ бесконачног реда.

Пример

Нека је $G$ Абелова група чији су елементи

$G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}$

и чија је операција групе сабирање по модулу осам. Њена Кејлијева табела је

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Ова група има пар нетривијалних подгрупа: $J=\{0,4\}$ и $H=\{0,2,4,6\}$, где је $J$ такође подгрупа од $H$. Кајлијева табела за $H$ је горњи леви квадрант Кајлијеве табеле за $G$. Група $G$ је циклична, па су и њене подгрупе цикличне. Уопштено, подгрупе цикличних група су цикличне..

Косети и Лагранжова теорема

Ако је дата подгрупа $H$ и неко $a$ из $G$, дефинишемо леви косет $aH=\{ah:h\in H\}$. Како је $a$ инверзибилно, пресликавање $\phi :H\to aH$ дефинисано као $\phi (h)=ah$ је бијекција. Штавише, сваки елемент из $G$ се налази у тачно једном левом косету од $H$; леви косети су класе еквиваленције у односу на релацију еквиваленције $a_1\sim a_2$ ако и само ако је $a_1^{-1}{a}_2$ у $H$. Број левих косета $H$ се назива индексом $H$ у $G$, и означава се са $[G:H]$.

Лагранжова теорема гласи да за коначну групу $G$ и њену подгрупу $H$,

$$[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}$$

где $\text{red}(G)$ и $\text{red}(H)$ означавају редове $G$ и $H$. Ред сваке подгрупе $G$ (и ред сваког елемента $G$) обавезно дели $\text{red}(G)$.

Десни косети су дефинисани аналогно: $Ha=\{ha:h\in H\}$. Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак $[G:H]$.

Ако је $aH=Ha$ за свако $a$ из $G$, тада се каже да је $H$ нормална подгрупа. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.

Види још

• Група (математика)
• Лагранжова теорема