Централна гранична теорема

Конвергенција биномне расподеле (црвено) ка нормалној расподели (зелено)

Централна гранична теорема се односи на примену слабог закона великих бројева у теорији вероватноће. Теорема тврди да је (нормирана и центрирана) сума великог броја независних и идентично распоређених случајних променљивих тежи нормалној расподели вероватноће. То објашњава посебан значај који има овај тип расподеле. Ова теорема је доживела многе промене током формалног развоја теорије вероватноће. Претходне верзије теореме датирају из 1811. године, али у свом модерном општем облику, овај фундаментални резултат у теорији вероватноће је прецизно изречен још 1920. године, чиме је служио као мост између класичне и модерне теорије вероватноће.

Ако су $X_1,X_2,\dots ,X_n$ су $n$ случајних узорака узетих из популације са укупном средњом вредношћу $\mu$ и коначном варијансом Шаблон:Nowrap и ако је ${\overline{X}}_n$ средња вредност узорка, затим гранични облик дистрибуције, Шаблон:Nowrap је стандардна нормална дистрибуција.

Исказ централне граничне теореме се односи на низ независних, случајних променљивих са идентичном расподелом вероватноће, чији су математичко очекивање и варијанса коначни. Постоје различите варијанте ове теореме, у којима чак није неопходно да променљиве имају исту расподелу вероватноће. Услов је само да ниједна променљива нема доминантан утицај на коначну суму. Примери су Линдбергов услов и Љапуновљев услов. У даљој генерализацији дозвољавају се и слабе међузависности између променљивих.

Име овој теореми дао је Ђерђ Поја у свом раду „О централној граничној теореми теорије вероватноће и математичким моментима“ (Шаблон:Јез-нем) из 1920.

Централна гранична теорема случајних променљивих идентичне расподеле вероватноће

(такође позната као гранична теорема Линдеберга/Левија)

Нека су $X_1,X_2,X_3,\dots$ низ случајних променљивих, које припадају истом простору вероватноће, све имају исту расподелу вероватноће $D$, и које су независне. Такође, узмимо да математичко очекивање $\mu$ и стандардна девијација $\sigma$ постоје и да су коначни.

Посматрајмо $n$-ту парцијалну суму случајних променљивих $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$. Математичко очекивање $S_n$ је $n\mu$, док је варијанса $n{\sigma }^2$. За стандардизовану случајну променљиву

$Z_n=\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}},$

централна гранична теорема каже да је расподела вероватноће $Z_n$, за $n$ →$\mathrm{\infty }$, тежи ка нормалној расподели вероватноће $N(0,1)$. Ако је $\mathrm{\Phi }(z)$ кумулативна расподела вероватноће од $N(0,1)$, тада значи да за свако реално $z$ важи

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\text{P}(Z_n\le z)=\mathrm{\Phi }(z).$

Што се другачије може записати као

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\text{P}(\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le z)=\mathrm{\Phi }(z),$

где је

${\bar{X}}_n=\frac{S_n}{n}=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$

средња вредност првих $n$ одбирака случајне варијабле.

Ако постоји трећи центрирани моменат $\mathrm{E}((X_1-\mu {)}^3)$, и ако је коначан, тада је конвергенција униформна, и има брзину која је најмање реда $\frac{1}{\sqrt{n}}$ (Бери-Есенова теорема).

У случају да је расподела вероватноће $D$ биномна расподела, долазимо до специјалног случаја централне граничне теореме под именом Моавр-Лапласова теорема.

За случајне променљиве чија је расподела вероватноће нормална, расподела вероватноће њиховог збира је такође нормална, односно $Z_n$ за свако $n$ има расподелу вероватноће $N(0,1)$.

Регресија

Регресиона анализа, а посебно обични најмањи квадрати, одређују да зависна променљива зависи према некој функцији од једне или више независних променљивих, са адитивним термином грешке. Различити типови статистичких закључака о регресији претпостављају да је термин грешке нормално дистрибуиран. Ова претпоставка се може оправдати претпоставком да је члан грешке заправо збир многих независних чланова грешке; чак и ако појединачни термини грешке нису нормално распоређени, помоћу централне граничне теореме њихов збир се може добро апроксимирати нормалном расподелом.

Остале илустрације

С обзиром на њен значај за статистику, доступни су бројни радови и рачунарски пакети који демонстрирају конвергенцију укључену у централну граничну теорему.

Историја

Холандски математичар Хенк Тијмс је писао:

Сер Френсис Галтон је описао централну граничну теорему на овај начин:

Прави термин „теорема централне границе“ (на немачком: „-{zentraler Grenzwertsatz}-“) први је употребио Ђерђ Поја 1920. године у наслову једне публикације. Поја је теорему назвао „централном“ због њеног значаја у теорији вероватноће. Према Ле Каму, француска школа вероватноће тумачи реч централно у смислу да „она описује понашање центра дистрибуције за разлику од њених репова“. Апстракт рада О централној граничној теореми калкулуса вероватноће и проблему момената Поја 1920. преводи се на следећи начин.

Детаљан приказ историје теореме, са детаљима о Лапласовом темељном раду, као и Кошијевим, Беселовим и Поасоновим доприносима, дао је Халд. Два историјска извештаја, један који покрива развој од Лапласа до Кошија, а други доприносе фон Мизеса, Поја, Линдеберга, Левија и Крамера током 1920-их, даје Ханс Фишер. Ле Кам описује период око 1935. године. Бернштајн представља историјску дискусију која се фокусира на рад Пафнутија Чебишева и његових ученика Андреја Маркова и Александра Љапунова који су довели до првих доказа ЦЛТ у општем окружењу.

Занимљива фуснота о историји централне граничне теореме је да је доказ резултата сличног Линдеберговој ЦЛТ из 1922. године био предмет стипендијске дисертације Алана Тјуринг из 1934. за Краљевски колеџ на Универзитету у Кембриџу. Тек након што је послао рад, Тјуринг је сазнао да је то већ доказано. Сходно томе, Тјурингова дисертација није објављена.

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal.
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Анимирана демонстрација централне граничне теореме
• Један од доказа Шаблон:Wayback
• Интерактивни експеримент посвећен централној граничној теореми
• Central Limit Theorem at Khan Academy
• Шаблон:Springer
• Шаблон:MathWorld