Функција преноса

Датотека:Функција преноса.svg

Функција преноса система.

Функција преноса, један је од начина математичког описа динамичког понашања система. Углавном се користи у теорији аутоматског управљања, комуникација и дигиталне обраде сигнала. Представља диференцијални оператор, који изражава однос између улаза и излаза линеарног стационарног система. Знајући улаз система и функцију преноса, може се реконструисати излазни сигнал. Једноставније речено, преносна функција је математички приказ односа између улаза и излаза динамичког система.

У временском домену, такав систем карактерише импулсни одзив, трансформацијом улазног сигнала -{U(t)}- у излазни сигнал -{Y(t)}-. Са одговарајућом трансформацијом могу се заменити улазни сигнал у -{U(s)}- и излазни у -{Y(s)}-, па је њихов однос функција преноса. У теорији управљања, функција преноса система дефинише се као однос Лапласове трансформације излазног сигнала и улаза, са нултим почетним условима.

Карактеристике линеарних стационарних система: Линеарност подразумева да однос, између улаза и излаза система, задовољава исту законитост, у функцији времена. Технички речено, линеарни систем има следећа својства: ако је сигнал на улазу x(t) = A·x1(t) + B·x2(t) онда је сигнал на излазу система y(t) = A·y1(t) + B·y2(t) Излаз система yi(t) је одговор на улазни сигнал (утицај) -{ xi(t)}-, за било које константе -{A}- и -{B}-. Стационарно, значи да је излаз система, као одговор на било који улаз истог је временског кашњења, за било коју апликацију. У ужем смислу, временско кашњење излаза биће увек исто, у односу на улазни сигнал, услед утицаја система.

За континуалне сигнале, функција преноса помоћу Лапласа даје опште информације о систему, посебно информације о његовој стабилности.

Линеарни стационарни системи

При разматрању теорије линеарних стационарних система, усвојено је да је однос излазног и улазног сигнала функцију преноса:

Веза између временског и фреквентног домена.

$W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$,

Где је:

• $U(s)$ — улазни сигнал (улаз)
• $Y(s)$ — излазни сигнал (излаз, или одзив)
  

У овом облику, улаз и излаз, добијени су са Лапласовом трансформацијом сигнала у временском домену $u(t)$ и $y(t)$, сагласно релацијама:

$U(s)=ℒ\{u(t)\}\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(t)e^{-st}dt$,

$Y(s)=ℒ\{y(t)\}\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}y(t)e^{-st}dt$.

Дискретна функција преноса

За дигитални и дискретно непрекидни систем назива се дискретна функција преноса. Сигнал $u(k)$ — улазни дискретни сигнал одговарајућег система, а $y(k)$ — је дискретни излазни сигнал, $k=0,1,2,\dots$. Тада се функција преноса система $W(z)$ може написати у облику:

$W(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}$,

Где је $U(z)$ и $Y(z)$ — z-конверзија за сигнале $u(k)$ и $y(k)$ сагласно:

$U(z)=𝒵\{u(k)\}\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}u(k)z^{-k}$,

$Y(z)=𝒵\{y(k)\}\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}y(k)z^{-k}$.

Однос са другим динамичким карактеристикама

• Амплитудно и фазно фреквентни одзив може се добити из функције преноса помоћу формалне замене са коплесном променљивом $s$ са $j\omega$:

$W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega$.

• Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса (Лапласове трансформације).

Особине функције преноса

1. За стационарне објекте преносна функција, сврстава се у рационалне функције са комплексном променљивом ($s$):

$W(s)=\frac{R(s)}{Q(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\dots +b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\dots +a_n}$.

1. Именилац функције преноса је карактеристичан полином система. Полови функције преноса су корени карактеристичног полинома.
2. У физички реалним системима, ред бројиоца преносне функције $m$, не може прећи ред имениоца $n$.
3. Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса (пре Лапласове трансформације).

Матрица функције преноса

За вишеструки улаз и вишеструки излаз, уводи се систем матрице функције преноса. Матрица функције преноса од улаза вектора система $U(t)$ и од вектора излаза $Y(t)$, представља матрицу $W=\{w_{i,j}\}$, где су њени елементи $i$, у томе реду $j$. Друга колона представља функцију преноса система од $i$, од координате вектора излаза система, на вектор улаза $j$.

Датотека:Пренос са повратном спрегом.svg

Функција преноса система са повратном спрегом

Са повратном спрегом

Када систем управљања поседује повратну спрегу (слика десно), тада су уочљиве две функције преноса:

• Функција преноса система са затвореном повратном спрегом, која се назива
  функција спрегнутог преноса
  

$W_s(s)=\frac{G}{1+GH}$,

• функција преноса система са отвореном повратном спрегом, која се назива
  функција повратног преноса
  

$W(s)=GH$.

Управљање у инжињерству

У инжињерској теорији управљања, функција преноса је изведена помоћу Лапласове трансформације.

Функција преноса је примарни алат, који се користи у класичном управљању у енергетици. Међутим, он се показао гломазан за анализу система са више улаза и са више излаза, и у великој мери замењен је са приказом стања простора за овакве системе. Упркос томе, матрица функције преноса може се увек добити за било који линеарни систем, како би се анализирала динамика и друга својства. Сваки елеменат матрице је функција преноса, односи се на променљиви улаз и излаз.

Оптика

У оптици, функција преноса означава могућност модулације оптичког преноса контраста.

Пример, када се посматра серија црно-белих светлосних пруга, нацртаних са специфичном просторном фреквенцијом, квалитет слике може опадати. Бела пруга бледи док црне постају светлије.

функција преноса модулације ($\mathrm{M}\mathrm{T}\mathrm{F}$) у одређеним просторним учестаностима је дефинисана:

$\mathrm{M}\mathrm{T}\mathrm{F}(f)=\frac{M(slika)}{M(izvor)}$

Где модулација (М) зависи од следеће слике или интензитета осветљења:

$M=\frac{(L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-L_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})}{(L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+L_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})}$

Види још

• Систем команди лета авиона
• Повратна спрега

Спољашње везе

• Анализа система
• ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems Шаблон:Wayback — Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
• ECE 209: Sources of Phase Shift Шаблон:Wayback — Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two simple LTI systems. Also verifies simple transfer functions by using trigonometric identities.