Фибоначијев низ

Поплочавање квадратима чије су странице по дужини сукцесивни Фибоначијеви бројеви

Фибоначијев низ је математички низ примећен у многим физичким, хемијским и биолошким појавама. Име је добио по италијанском математичару Фибоначију. Представља низ бројева у коме збир претходна два броја у низу дају вредност наредног члана низа. Индексирање чланова овог низа почиње од нуле а прва два члана су му 0 и 1.Шаблон:Sfn

F (n) : = {\begin{matrix} 0 & ако је n = 0; \\ 1 & ако је n = 1; \\ F (n - 1) + F (n - 2) & ако је n > 1 . \end{matrix}

То јест, након две почетне вредности, сваки следећи број је збир два претходника. Први Фибоначијеви бројеви Шаблон:OEIS, такође означени као -{F_n}-, за -{n}- = 0, 1, … , су:^[1]

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...

Понекад се за овај низ сматра да почиње на -{F}-₁ = 1, али уобичајеније је укључити -{F}-₀ = 0. У неким старијим књигама, вредност $F_{0} = 0$ је изостављена, тако да секвенца почиње са $F_{1} = F_{2} = 1,$ и понављање је $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ валидно за Шаблон:Math.Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn

Фибоначијеви бројеви су именовани по Леонарду од Писе, познатом као Фибоначи, иако су раније описани у Индији.^[2]^[3]

Ако су познати Фибоначијеви бројеви $F_{m}$ и $F_{n}$ онда се може наћи број $F_{m + n}$ по формули

$F_{m + n} = F_{(m - 1)} F_{n} + F_{m} F_{n + 1}$

Такође важи

$F_{2 n} = F_{n} (F_{n + 1} + F_{n - 1})$

$F_{3 n} = F_{n + 1}^{3} + F_{n}^{3} + F_{n - 1}^{3}$

Уопштено

$F_{m n} = \sum_{k = 1}^{m} (\binom{m}{k}) (F_{n}^{k} (F_{n - 1}^{m - k}$

Фибоначијева спирала: апроксимација златне спирале створене цртањем кружних лукова који повезују супротне углове квадрата у Фибоначијевим плочицама; (погледајте претходну слику)

Фибоначијеви бројеви су у снажној вези са златним пресеком: Бинетова формула изражава Шаблон:Mvar-ти Фибоначијев број у смислу Шаблон:Mvar и златног пресека, и подразумева да однос два узастопна Фибоначијева броја тежи златном пресеку како се Шаблон:Mvar повећава.

Фибоначијеви бројеви су добили име по италијанском математичару Леонарду из Пизе, касније познатом као Леонардо Фибоначи. У својој књизи -{Liber Abaci}- из 1202. године, Фибоначи је представио овај низ западноевропској математици,Шаблон:Sfn иако је тај низ био описан раније у индијској математици,^[4]^[5]^[6]^[7] већ 200. године пре нове ере у раду аутора Пингала о набрајању могућих образаца санскртске поезије насталих од слогова две дужине.

Бинетова формула

Бинетова формула је експлицитно изражавање вредности $F_{n}$ као функције од $n$

F_{n} = \frac{{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}}{\sqrt{5}} = \frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{φ - (- φ)^{- 1}} = \frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{2 φ - 1},

где је $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ златни пресек. У том случају $φ$ и $(- φ)^{- 1} = 1 - φ$ су решења једначине $x^{2} - x - 1 = 0$ .

Из Бинетове формуле за све $n ⩾ 0$ , следи да је $F_{n}$ за $\frac{φ^{n}}{\sqrt{5}}$ најближе целом броју тј. $F_{n} = ⌊ \frac{φ^{n}}{\sqrt{5}} ⌉$

За $n \to \infty$ је $F_{n} \sim \frac{φ^{n}}{\sqrt{5}}$ .

Формула се може аналитички приказати на следећи начин

F_{z} = \frac{1}{\sqrt{5}} (φ^{z} - \frac{\cos π z}{φ^{z}}) .

при томе $F_{z + 2} = F_{z + 1} + F_{z}$ вреди за сваки комплексни број

Однос према златном односу

У теорији бројева велику улогу игра број $ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ који је корен једначине $x^{2} - x - 1 = 0$ i

$x^{n} - x^{n - 1} + x^{n - 2} = 0$

Из Бинетове формуле

$\frac{1}{\sqrt{5}} (ϕ^{n} - (- ϕ)^{- n}) = \frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{2 φ - 1}$

Где је

φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803 39887 \dots

φ^{- 1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1 - φ = - \frac{1}{φ} \approx - 0.61803 39887 \dots

Даље се добија

$φ^{n} = φ^{n - 1} + φ^{n - 2}$

и

$(φ^{- 1})^{n} = (φ^{- 1})^{n - 1} + (φ^{- 1})^{n - 2}$

За све вредности -{a, b}- дефинише се низ

$U_{n} = a φ^{n} + b (φ^{- 1})^{n}$

Задовољена је и релација

$U_{n} = a φ^{n - 1} + b (φ^{- 1})^{n - 1} + a φ^{n - 2} + b (φ^{- 1})^{n - 2} = U_{n - 1} + U_{n - 2}$

Нека су $a$ и $b$ изабрани тако да је $U_{0} = 0$ и $U_{1} = 1$ онда добијени низ мора бити Фибоначијев низ.

Бројеви $a$ и $b$ задовољавају релацију

$a + b = 0$

$a φ^{n} + b (φ^{- 1})^{n} = 1$

Односно важи

$a = \frac{1}{φ - φ^{- 1}} = \frac{1}{\sqrt{5}}, b = - a$

Узимајући $U_{0}$ i $U_{1}$ као почетне варијабле добија се

$U_{n} = a φ^{n} + b (φ^{- 1})^{n} = 1$

Односно

a = \frac{U_{1} - U_{0} φ^{- 1}}{\sqrt{5}}

b = \frac{U_{0} φ - U_{1}}{\sqrt{5}}

.

Посматрајмо сада

| \frac{(φ^{- 1})^{n}}{\sqrt{5}} | < \frac{1}{2}

За $n \geq 0$ , broj $F_{n}$ најближи цео број је $\frac{φ^{n}}{\sqrt{5}}$ , који се може добити из функције

F_{n} = [\frac{φ^{n}}{\sqrt{5}}], n \geq 0,

или

F_{n} = ⌊ \frac{φ^{n}}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2} ⌋, n \geq 0 .

Слично ако је -{F}->0 Фибоничијев број онда може одредити његов индекс унутар низа.

n (F) = ⌊ \log_{φ} (F \cdot \sqrt{5} + \frac{1}{2}) ⌋,

где се $\log_{φ} (x)$ може израчунати кориштењем логаритма друге базе

Пример

$\log_{φ} (x) = \ln (x) / \ln (φ) = \log_{10} (x) / \log_{10} (φ)$

Особине

Највећи заједнички делитељ два Фибоначијева броја је број чији је индекс једнак највећем заједничком делитељу њихових индекса

Последице

$F_{m}$ је дјељив сa $F_{n}$ ако и само ако је $m$ дељиво са $n$ (без $n = 2$ )

$F_{m}$ је дељиво са $F_{3} = 2$ само ако је $m = 3 k$
$F_{m}$ је дељиво са $F_{4} = 3$ само ако је $m = 4 k$
$F_{m}$ је дељиво са $F_{5} = 5$ само ако је $m = 5 k$

$F_{m}$ је прост ако је $m$ прост број са искључењем $m = 4$

F_{13} = 233

Обратно не важи тј ако је $m$ прост број $F_{m}$ не мора бити прост

F 19 = 4181 = 37 * 113

Његов полином $x^{2} - x - 1$ има корене $φ$ и $- φ^{- 1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = φ .$

Године 1964, Коши је доказао да су у низу Фибоначијевих бројева једини квадрати бројеви са индексом 0,,1,2,12 $F_{0} = 0^{2} = 0$ , $F_{1} = 1^{2} = 1$ , $F_{2} = 1^{2} = 1$ , $F_{12} = 1 2^{2} = 144$

Генерирајућа функција низа фибоначијевих бројева је $x + x^{2} + 2 x^{3} + 3 x^{4} + 5 x^{5} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n} x^{n} = \frac{x}{1 - x - x^{2}}$

Фибоначијев низ бројева

Првих 21 Фибоначијевих бројева $F_{n}$ за $n = 0, 1, 2, 3, . . . . 20$ ^[8]

F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃	F₁₄	F₁₅	F₁₆	F₁₇	F₁₈	F₁₉	F₂₀
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Овај низ бројева може се проширити и на негативне бројеве.

F_{n - 2} = F_{n} - F_{n - 1},

F_{- n} = (- 1)^{n + 1} F_{n} .

Низ бројева $F_{n}$ за $n = - 8, - 7, . . . . 0, 1, 2, . . . . 8$ ^[9]

F₋₈	F₋₇	F₋₆	F₋₅	F₋₄	F₋₃	F₋₂	F₋₁	F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈
−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21

Идентитети

$F_{1} + F_{2} + F_{3} + \dots + F_{n} = F_{n + 2} - 1$
$F_{1} + F_{3} + F_{5} + \dots + F_{2 n - 1} = F_{2 n}$
$F_{2} + F_{4} + F_{6} + \dots + F_{2 n} = F_{2 n + 1} - 1$
$F_{n + 1} F_{n + 2}^{} - F_{n} F_{n + 3} = (- 1)^{n}$
$F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + F_{3}^{2} + \dots + F_{n}^{2} = F_{n} F_{n + 1}$ (см. рис.)
$F_{n}^{2} + F_{n + 1}^{2} = F_{2 n + 1}$
$F_{2 n} = F_{n + 1}^{2} - F_{n - 1}^{2}$
$F_{3 n} = F_{n + 1}^{3} + F_{n}^{3} - F_{n - 1}^{3}$
$F_{5 n} = 25 F_{n}^{5} + 25 (- 1)^{n} F_{n}^{3} + 5 F_{n}$

Опште формуле

$F_{n + m}^{} = F_{n - 1} F_{m} + F_{n} F_{m + 1} = F_{n + 1} F_{m + 1} - F_{n - 1} F_{m - 1}$
$F_{(k + 1) n}^{} = F_{n - 1} F_{k n} + F_{n} F_{k n + 1}$
$F_{n}^{} = F_{l} F_{n - l + 1} + F_{l - 1} F_{n - l}$

F_{n + 1} = \det (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - 1 & 1 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ 0 & - 1 & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 0 & \dots & 0 & - 1 & 1 \end{matrix})

, као и

F_{n + 1} = \det (\begin{matrix} 1 & i & 0 & \dots & 0 \\ i & 1 & i & ⋱ & ⋮ \\ 0 & i & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & i \\ 0 & \dots & 0 & i & 1 \end{matrix})

,

где матрице имају облик $n \times n$ , -{i}- је имагинарна јединица.

Фибоначијеви бројеви се могу изразити преко Чебишевљевих полинома

F_{n + 1} = (- i)^{n} U_{n} (\frac{- i}{2}),

F_{2 n + 2} = U_{n} (\frac{3}{2}) .

За било који $n$

${(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}^{n} = (\begin{matrix} F_{n + 1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n - 1} \end{matrix}) .$

Последица

$(- 1)^{n} = F_{n + 1} F_{n - 1} - F_{n}^{2} .$

Формула за поновно добијање Фибоначијевих бројева је

F_{n + 1} = \frac{F_{n} + \sqrt{5 F_{n}^{2} \pm 4}}{2}

Фибоначијев низ у природи

Фибоначијев низ се често повезује и са бројем фи (phi), или бројем којег многи зову и „Божанским односом”. Ако се узме један део Фибоначијевог низа, 2, 3, 5, 8, те подели сваки следећи број с њему претходним, добиће се увек број приближан броју 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Број 1,618 јесте број фи. Односи мера код биљака, животиња и људи, са запањујућом прецизношћу се приближава броју фи.

Следи неколико примера броја фи и његове повезаности са Фибоначијем и природом:

У пчелињој заједници, кошници, увек је мањи број мужјака пчела него женки пчела. Када би поделили број женки са бројем мужјака пчела, увек би добили број фи.
Наутилус (главоножац), у својој конструкцији има спирале. Када би се израчунао однос сваког спиралног пречника према следећем добио би се број фи.
Семе сунцокрета расте у супротним спиралама. Међусобни односи пречника ротације је број фи.
Ако се измери човечија дужину од врха главе до пода, затим се то подели с дужином од пупка до пода, добија се број фи.

Види још

Фибоначијеви полиноми

Референце

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Cite book.
Шаблон:Citation.
Шаблон:Citation.
- Шаблон:Citation.
Шаблон:Citation.
Шаблон:Cite book
Шаблон:Citation.
Шаблон:Citation
Аракелян, Грант (2014). Математика и история золотого сечения. Логос, 404 с. Шаблон:ISBN.

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Commonscat

Шаблон:Класе природних бројева Шаблон:Фибоначи Шаблон:Нормативна контрола

↑ Шаблон:Cite OEIS
↑ Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
↑ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
↑ Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом GlobalScience.
↑ Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом HistoriaMathematica.
↑ Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом knuth-v1.
↑ Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом Donald Knuth 2006 50.
↑ The Fibonacci series Шаблон:Wayback: 03. april 2011.
↑ Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane Шаблон:Webarchive

[oeis-1] Шаблон:Cite OEIS

[2] Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]

[3] Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985

[GlobalScience-4] Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом GlobalScience.

[HistoriaMathematica-5] Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом HistoriaMathematica.

[knuth-v1-6] Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом knuth-v1.

[Donald_Knuth_2006_50-7] Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом Donald Knuth 2006 50.

[8] The Fibonacci series Шаблон:Wayback: 03. april 2011.

[9] Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane Шаблон:Webarchive

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Фибоначијев низ

Садржај

Бинетова формула

Однос према златном односу

Особине

Фибоначијев низ бројева

Идентитети

Фибоначијев низ у природи

Види још

Референце

Литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Фибоначијев низ

Бинетова формула

Однос према златном односу

Особине

Фибоначијев низ бројева

Идентитети

Фибоначијев низ у природи

Види још

Референце

Литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Претрага