Триангулација

У својој геометријској интерпретацији триангулација је процес одређивања апсолутне или релативне позиције неке тачке уз помоћ мерења углова ка тој тачки у односу на друге две унапред познате тачке (основе). Овај приступ се разликује од трилатерације где се раздаљина мери директним методама.

Овај метод се заснива на прецизном мерењу дужине основе и углова ка жељеној тачки, и примени тригонометријских функција уз помоћ којих се добија позиција и удаљеност до тражене тачке.

Пример триангулације у равни, рачунање раздаљине до жељене тачке уз помоћ дужине основе и два угла

Слика 1. Раздаљина до жељене тачке се може израчунати уз помоћ два угла *-{α}-* и *-{β}-*, и растојања *-{l}-*

У овом примеру подразумевамо релативно мале раздаљине за -{l}- и -{d}-, за случај већих раздаљина (поредивих са радијусом земаљске кугле) се мора применити сферна тригонометрија (тригонометрија на сфери). За мале раздаљине (до неколико километара) се може искористити следећи рачун:

ℓ = \frac{d}{\tan α} + \frac{d}{\tan β}

Дакле

d = ℓ / (\frac{1}{\tan α} + \frac{1}{\tan β})

Користећи тригонометријске идентитете -{tan α = sin α / cos α}- и -{sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β}-, претходни израз постаје:

d = \frac{\sin α \sin β}{\sin (α + β)} ℓ

Историја

Триангулација је позната од античког доба, у -{VI}- веку пре нове ере грчки филозоф Талес је израчунао висину пирамида тако што је измерио дужину пирамидине сенке у тренутку када је дужина његове сопствене сенке била једнака његовој висини (те је самим тим и висина пирамиде једнака дужини пирамидине сенке, због сличности троуглова). Проблеми овог типа су били познати древним египћанима, на пример проблем 57 са Ахмесовоg папируса говори о овоме. Кинески картограф и географ -{Lui Hui}- је у -{III}- веку користио триангулацију за мерење висине неприступачних литица.