Спљоштени сфероидни систем

Спљоштени сфероидни систем у тродимензионалном простору представља ортогонални координатни систем настао ротацијом сфероида око мале оси, на којој се не налазе фокуси. Спљоштене сфероидне координате користе се да се реше различите парцијалне диференцијалне једначине, у којима гранични услови одговарају спљоштеном сфероиду са два фокуса на великој оси.

Дефиниција

Најчешћа дефиниција издужених сфероидних координата $(\mu ,\nu ,\varphi )$ је:

$x=a\cosh \mu \cos \nu \cos \varphi$

$y=a\cosh \mu \cos \nu \sin \varphi$

$z=a\sinh \mu \sin \nu$

где је $\mu$ ненегативан реални број, а $\nu \in [-\pi /2,\pi /2]$.

Координатне површи

Површи константнога $\mu$ чине спљоштене сфероиде, што се види квадрирањем и сређивањем горенаведених релација:

$\frac{x^2+y^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{z^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

Оне представљају елипсе, које се ротирају око z оси, која раздваја фокусе. Елипса у x-z равни има већу полуос дужине a cosh μ дуж x оси, а мања полуос је a sinh μ дуж z оси.

На сличан начин добија се и следећа релација:

$\frac{x^2+y^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{z^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$

из које се види да површи константнога $\nu$ чине хиперболоиде.

Ламеови коефицијенти

Ламеови коефицијенти скалирања су:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }$

$h_{\varphi }=a\cosh \mu \cos \nu$

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=a^3\cosh \mu \cos \nu ({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu d\varphi$

а Лапласијан је:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )}[\frac{1}{\cosh \mu }\frac{\partial }{\partial \mu }(\cosh \mu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu })+\frac{1}{\cos \nu }\frac{\partial }{\partial \nu }(\cos \nu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu })]+\frac{1}{a^2({\cosh }^2\mu +{\cos }^2\nu )}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$

Друга верзија

Спљоштени сфероидни систем може да се параметризира и са друге три координате $(\zeta ,\xi ,\varphi )$, које су са картезијевим координатама повезане следећом релацијом:

$x=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\cos \varphi$

$y=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\sin \varphi$

$z=a\zeta \xi$

Ламеови коефицијенти друге верзије

$h_{\zeta }=a\sqrt{\frac{{\zeta }^2+{\xi }^2}{1+{\zeta }^2}}$

$h_{\xi }=a\sqrt{\frac{{\zeta }^2+{\xi }^2}{1-{\xi }^2}}$

$h_{\varphi }=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}$

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=a^3({\zeta }^2+{\xi }^2)d\zeta d\xi d\varphi$

а Лапласијан је:

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=\frac{1}{a^2({\zeta }^2+{\xi }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \zeta }\left[(1+{\zeta }^2)\frac{\partial V}{\partial \zeta }\right]+\frac{\partial }{\partial \xi }\left[(1-{\xi }^2)\frac{\partial V}{\partial \xi }\right]\}+\frac{1}{a^2(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\varphi }^2}$

Трећа верзија

Трећа верзија система има следеће три координате $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ дефинисане са:

$x=a\sigma \tau \cos \varphi$

$y=a\sigma \tau \sin \varphi$

$z^2=a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)$

Ламеови коефицијенти скалирања су:

$h_{\sigma }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}}$

$h_{\tau }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}$

$h_{\varphi }=a\sigma \tau$.

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=a^3\sigma \tau \frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}}d\sigma d\tau d\varphi$

а Лапласијан је:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}\{\frac{\sqrt{{\sigma }^2-1}}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left[\left(\sigma \sqrt{{\sigma }^2-1}\right)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right]+\frac{\sqrt{1-{\tau }^2}}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left[\left(\tau \sqrt{1-{\tau }^2}\right)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right]\}+\frac{1}{a^2{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$

Литература

• Спљоштени сфероидни систем
• -{Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.}-
• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:ISBN.}-
• -{Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. Шаблон:ISBN}-

Види још

• Правоугли координатни систем
• Сферни координатни систем
• Елиптични координатни систем
• Издужени сфероидни координатни систем