Елиптични координатни систем

Елиптични координатни систем је дводимензионални координатни систем, у ком су координатне линије представљене елипсама и хиперболама. Фокуси елипси су фиксирани на $-a$ и $+a$ на оси $x$.

Елиптични координатни систем

Основна дефиниција

Елиптичне координате $(\mu ,\nu )$ обично се дефинишу као:

$x=a\cosh \mu \cos \nu$

$y=a\sinh \mu \sin \nu$

где је $\mu$ ненегативан реалан број, а $\nu \in [0,2\pi ].$ На тај начин следећим тригонометријским идентитеом одређује се фамилија елипси константнога $\mu$:

$\frac{x^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{y^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

С друге стране другом једначином одређује се фамилија хипербола константнога $\nu$:

$\frac{x^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{y^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$

Ламеови коефицијенти

У ортогоналном координатном систему дужине вектора базе познате су као фактори скалирања или као Ламеови коефицијенти, који су за елиптичне координате:

$H_{\mu }=H_{\nu }=a\sqrt{{\mathrm{s}\mathrm{h}}^2\mu +{\sin }^2\nu }.$

а након сређивања као:

$H_{\mu }=H_{\nu }=a\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{c}\mathrm{h}2\mu -\cos 2\nu }).$

Елеменат површине дат је са:

$dS=a^2({\mathrm{s}\mathrm{h}}^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu ,$

а Лапласијан:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\mathrm{s}\mathrm{h}}^2\mu +{\sin }^2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2}).$

Алтернативна дефиниција

Понекад се користи и алтернативна дефиниција елиптичних координата $(\sigma ,\tau )$:

$\sigma =\mathrm{c}\mathrm{h}\mu ,$

$\tau =\cos \nu .$

Координате $(\sigma ,\tau )$ имају једноставан однос са удаљеностима $d_1,d_2$ од фокуса $F_1$ и $F_2$.

$d_1+d_2=2a\sigma ,$

$d_1-d_2=2a\tau ,$

На тај начин добија се и:

$d_1=a(\sigma +\tau );$

$d_2=a(\sigma -\tau ).$

Тај координатни систем има недостатак да координате (x,y) и (x,-y) имају исти $(\sigma ,\tau )$, па конверзија није једнозначна:

$x=a\sigma \tau ;$

$y^2=a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2).$

Ламеови коефицијенти алтернативне верзије

Ламеови коефицијенти алтернативних елиптичних координата $(\sigma ,\tau )$ су:

$h_{\sigma }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}}$

$h_{\tau }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}.$

Елеменат површине дат је са:

$dA=a^2\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}}d\sigma d\tau$

а Лапласијан је:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}[\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)].$

Литература

• -{Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.}-
• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:ISBN.}-

Види још

• Правоугли координатни систем
• Сферни координатни систем
• Параболички координатни систем