Ромбергова интеграција

Ромбергова интеграција (понекад се наводи такође као Ромбергова метода) је поступак из нумеричке анализе. Користи се када желимо нумерички да израчунамо неки интеграл, а добила је име по Вернеру Ромбергу.

Идеја

Основа Ромбергове интеграције је комбинација две лоше апроксимације којом ћемо доћи до једне боље. У суштини, она представља само један вид Ричардсонове екстраполације примењене на интеграцију и трапезоидно правило.

Присетимо се грешке трапезоидног правила са $n$ датих тачака:

$T_r(h)=\frac{h}{2}(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\dots +2f(x_{n-1})+f(x_n))$

$h=\frac{b-a}{n}$

$I_{precizan}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=T_r(h)+\frac{(b-a)}{12}{h}^2{f}^{″}(\xi )+\dots$

$\xi \in [a,b]$

Напишимо то све мало другачије:

$T(h)=I_{precizan}+c_2\cdot h^2+c_4\cdot h^4+\dots$

$c_2=\frac{(b-a)}{12}\cdot f^{″}(\xi ),c_4=\dots$

А шта се дешава када преполовимо размак између тачака?

$T(h/2)=I_{precizan}+c_2\cdot (h/2{)}^2+c_4\cdot (h/4{)}^2+\dots =I_{precizan}+\frac{1}{4}{c}_2\cdot h^2+\frac{1}{16}{c}_4\cdot h^4+\dots$

Очигледно је да се коефицијенти за квадратни део грешке ($c_2{h}^2$) донекле преклапа; зато га можемо простом комбинацијом ове две апроксимације елиминисати:

$T_1(h/2)=\frac{4\cdot T(h/2)-T(h)}{3}=I_{precizan}-\frac{1}{4}{c}_4+\dots$

Сада грешка зависи само од $h^4$! Постпупак можемо наставити и врло брзо ћемо доћи до веома прецизних резултата. Даљим рачуном елиминишемо остале степене из грешке:

$T_n(\frac{h}{2^k})=\frac{4^n\cdot T_{n-1}(\frac{h}{2^k})-T_{n-1}(\frac{h}{2^{k-1}})}{2^k-1}$

На шеми се види мало јасније:

$\begin{array}{cccccc}{T}_0(h)& & & & & \\ & \searrow & & & & \\ T_0(h/2)& \to & T_1(h/2)& & & \\ & \searrow & & \searrow & & \\ T_0(h/4)& \to & T_1(h/4)& \to & T_2(h/4)& \\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots \end{array}$

Као резултат се узима увек последњи елемент на дијагонали.

Грешка

Грешка Ромбергове интеграције, написана нотацијом са великим О: $𝒪(h^{2n+1})$.

За њену приближну вредност (за критеријум обуставе алгоритма) може се узети разлика дијагонале: $T_n(h/2^k)-T_{n-1}(h/2^{k-1})$

Треба међутим имати у виду да у одређеним случајевима грешка не мора да се смањује - добар пример за то су таласне функције (косинус, синус итд.). На конкретном примеру:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)*cos(2^{n}x)dx$

број тачака мора да будем барем $n+1$ иначе ће нам интеграл увек бити једнак нули.

Ромбергова интеграција има и ту предност што грешку можемо у сваком следећем кораку да израчунамо и тако сваки пут изнова одлучимо да ли хоћемо да идемо даље или смо задовољни досадашњим резултатом.

Пример

Узмимо да желимо да израчунамо:

$\underset{10}{\overset{20}{\int }}\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{\left(\frac{x}{3}\right)}dx$

Трапезоидно правило са две тачке нам даје:

$T_0(h=10)=10\cdot (\frac{1}{2}f(10)+\frac{1}{2}f(20))=2295.70$

Са три:

$T_0(h/2=5)=5\cdot (\frac{1}{2}f(10)+f(15)+\frac{1}{2}f(20))=1566.51$

И са пет:

$T_0(h/4=2.5)=2.5\cdot (\frac{1}{2}f(10)+f(12.5)+f(15)+f(17.5)+\frac{1}{2}f(20))=1355.90$

Када упоредимо чак и задњи резултат, грешка је још увек велика:

$\underset{10}{\overset{20}{\int }}\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{\left(\frac{x}{3}\right)}dx-T_0(h/4)=-73.38$

У неким ситуацијама би таква грешка могла да буде кобна! Применимо са овим резултатима Ромбергову методу:

$T_1(h/2)=\frac{4\cdot T_0(h/2)-T_0(h)}{3}=\frac{4\cdot 1566.51-2295.70}{3}=1323.45$

Грешка је $\underset{10}{\overset{20}{\int }}f(x)dx-1323.45=-40.93$, још увек недовољно прецизно за наше потребе. Идемо још један корак даље:

$T_1(h/4)=\frac{4\cdot T_0(h/4)-T_0(h/2)}{3}=\frac{4\cdot 1355.90-1566.51}{3}=1285.70$

$T_2(h/4)=\frac{4^2\cdot T_1(h/4)-T_1(h/2)}{4^2-1}=1283.18$

Грешка на крају: -0.65 ! Са само пет тачака смо добили изузетно прецизан резултат. Када бисмо желели да постигнемо исти резултат простим трапезоидним правилом, требало би нам око 50 тачака.