Трапезоидно правило

Пример трапезоидног правила

Трапезоидним правилом се служимо када нас интересује приближна вредност неког одређеног интеграла ${\int }_a^{b}f(x)dx$. Идеја која стоји иза овог правила је апроксимација функције $f(x)$ дужи од тачке $(a,f(a))$ до $(b,f(b))$. Она је једна од Њутн-Коутс формула. Оно је једно од најчешћих правила које срећемо у пракси, пре свега због своје једноставности, а посебно је погодна за периодичне функције.

$f(x)\approx \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot x+f(a)$

${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\int }_a^b\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot x+f(a)dx$

${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}$

Историја

У извештају из 2016. године наводи се да је трапезоидно правило било кориштено у Вавилону, 50. године пре Исуса Христа, за интеграцију брзине Јупитера дуж еклиптике.

Грешка

Грешка при оваквој апроксимацији је:

$\left|E_T\right|\le \frac{(b-a{)}^3}{12}\underset{a\le \xi \le b}{max}|f^{″}(\xi )|$

До овог резултата смо дошли путем Тејлорових редова. Тејлоров ред функција око тачке $a$ изгледа овако:

$f(x)=f(a)+(x-a)f^{\prime }(a)+\frac{(x-a{)}^2{f}^{″}(a)}{2!}+\dots$

Односно за тачку $b$:

$f(b)=f(a)+(b-a)f^{\prime }(a)+\frac{(b-a{)}^2{f}^{″}(a)}{2!}+\dots$

Применимо трапезоидно правило на интеграл (апроксимација интеграла је обележена црвеном бојом, а тачан интеграл плавом):

${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}(f(a)+f(b))=\frac{h}{2}(f(a)+\underset{f(b)}{\underbrace{f(a)+(b-a)f^{\prime }(a)+\frac{(b-a{)}^2{f}^{″}(a)}{2!}+\dots }})$

Погледајмо прецизан интеграл:

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^b\underset{f(x)}{\underbrace{f(a)+(x-a)f^{\prime }(a)+\frac{(x-a{)}^2{f}^{″}(a)}{2!}+\dots }}dx$

$={\int }_a^{b}f(a)dx+{\int }_a^b(x-a)f^{\prime }(a)dx+{\int }_a^b\frac{(x-a{)}^2{f}^{″}(a)}{2!}dx+{\int }_a^b\dots dx$

$=(b-a)f(a)+\frac{(b-a{)}^2{f}^{\prime }(a)}{2}+\frac{(b-a{)}^3{f}^{″}(a)}{6}+\dots$

Њихова разлика је наравно грешка:

${\int }_a^{b}f(x)dx-\frac{h}{2}(f(a)+f(b))=$

$=(b-a)f(a)+\frac{(b-a{)}^2{f}^{\prime }(a)}{2}+\frac{(b-a{)}^3{f}^{″}(a)}{6}+\dots$

$-\frac{h}{2}(f(a)+f(a)+(b-a)f^{\prime }(a)+\frac{(b-a{)}^2{f}^{″}(a)}{2!}+\dots )=$

$=-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{″}(a)+\dots$

Очигледно је да за $h\ge 1$ грешка расте до бесконачности (јер је реч о бесконачном Тејлоровом реду!), али за $h<1$ је све мања што „се даље иде“. Зато је најчешће овај израз једино и записан као једини релевантан.

Сложено трапезоидно правило

Када смо незадовољни резултатом, интервал можемо поделити на више мањих, за сваки појединачно израчунати приближну вредност интеграла трапезоидним правилом и после их све заједно сабрати. Тиме добијамо сложено трапезоидно правило:

${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{n}(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(a+k\frac{b-a}{n}))$,

што такође можемо написати као:

${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2n}(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\dots +2f(x_{n-1})+f(x_n))$.

Када означимо број тачака са $n$, a размак између њих са $h=\frac{b-a}{n}$, онда је грешка сложеног трапезоидног правила:

$\left|E_T\right|\le \frac{(b-a)}{12}{h}^2\underset{a\le \xi \le b}{max}|f^{″}(\xi )|$

Литература

Шаблон:Литература-{

• Шаблон:Cite book.
• I.S. Gradshteyn (И. С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И. М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Шаблон:Cite book. seventh edition. . Errata. (Several previous editions as well.)
• A.P. Prudnikov (А. П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю. А. Брычков), O.I. Marichev (О. И. Маричев). Шаблон:Cite book. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Шаблон:Cite book. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition
• Шаблон:Cite book. Chapman & Hall/CRC Press. . (Many earlier editions as well.)
• Шаблон:Cite book (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• Шаблон:Cite book (Ginn & co., Boston, 1899)

}-Шаблон:Литература крај Шаблон:Commonscat