Рачунарска анатомија

Рачунарска анатомија је интердисциплинарно поље биологије фокусирано на квантитативно истраживање и моделовање варијабилности анатомских облика. Обухвата развој и примену математичких, статистичких и аналитичких метода за моделовање и симулацију биолошких структура.

Поље је широко дефинисано и укључује основе из анатомије, примењене и чисте математике, машинског учења, рачунарске механике, рачунарске науке, биолошког снимања, неуронауке, физике, вероватноће и статистике; такође има јаке везе са механиком флуида и геометријском механиком. Додатно, допуњује новија, интердисциплинарна поља попут биоинформатике и неуроинформатике у смислу да њена интерпретација користи метаподатке изведене из оригиналних модалитета сензорског снимања (од којих је магнетна резонанција један пример). Фокусира се на анатомске структуре које се снимају, а не на саме уређаје за медицинско снимање. По духу је слична историји рачунарске лингвистике, дисциплине која се фокусира на лингвистичке структуре, а не на сензор који делује као преносни медијум и комуникационо средство.

У рачунарској анатомији, група дифеоморфизама се користи за проучавање различитих координатних система преко координатних трансформација које се генеришу путем Лагранжових и Ојлерових брзина протока у ${ℝ}^3$. Протоци између координата у рачунарској анатомији су ограничени тако да буду геодезијски протоци који задовољавају принцип најмањег дејства за кинетичку енергију протока. Кинетичка енергија се дефинише кроз норму Собољевљеве глаткоће са строго више од два генерализована, квадратно интеграбилна извода за сваку компоненту брзине протока, што гарантује да су протоци у ${ℝ}^3$ дифеоморфизми. То такође имплицира да је дифеоморфни момент облика узет по тачкама који задовољава Ојлер-Лагранжову једначину за геодезијске линије одређен његовим суседима кроз просторне изводе на векторском пољу. Ово одваја ову дисциплину од случаја нестишљивих флуида код којих је момент функција брзине по тачкама. Рачунарска анатомија се укршта са проучавањем Риманових многострукости и нелинеарном глобалном анализом, где су групе дифеоморфизама централни фокус. Настајуће високодимензионалне теорије облика су централне за многе студије у рачунарској анатомији, као и питања која произилазе из поља статистике облика које је у повоју. Метричке структуре у рачунарској анатомији су по духу сличне морфометрији, са разликом што се рачунарска анатомија фокусира на бесконачнодимензионални простор координатних система трансформисаних помоћу дифеоморфизма, отуда централна употреба терминологије дифеоморфометрија, метричко просторно проучавање координатних система путем дифеоморфизама.

Постанак

У сржи рачунарске анатомије је поређење облика препознавањем једног облика у другом. Ово је повезује са радом Дарсија Вентворта Томпсона О расту и облику који је довео до научних објашњења морфогенезе, процеса којим се шаблони формирају у биологији. Четири књиге о људској пропорцији Албрехта Дирера биле су вероватно најранија дела о рачунарској анатомији. Напори Ноама Чомског у његовом пионирском раду на рачунарској лингвистици инспирисали су оригиналну формулацију рачунарске анатомије као генеративног модела облика и форми из примерака на које делују трансформације.

Због доступности густих 3Д мерења преко технологија као што је магнетна резонанција (МРИ), рачунарска анатомија се појавила као потпоље медицинског снимања и биоинжењеринга за екстраховање анатомских координатних система на нивоу морфома у 3Д. Дух ове дисциплине се у великој мери преклапа са областима као што су рачунарски вид и кинематика крутих тела, где се објекти проучавају анализом група одговорних за кретање у питању. Рачунарска анатомија одступа од рачунарског вида са његовим фокусом на крута кретања, јер је бесконачнодимензионална група дифеоморфизама централна за анализу биолошких облика. То је грана школе анализе слика и теорије шаблона на Универзитету Браун коју је покренуо Улф Гренандер. У Гренандеровој општој метричкој теорији шаблона, претварање простора шаблона у метрички простор једна је од основних операција, будући да могућност груписања и препознавања анатомских конфигурација често захтева метрику блискости и удаљености између облика. Метрика дифеоморфометрије рачунарске анатомије мери колико су удаљене две дифеоморфне промене координата једна од друге, што заузврат индукује метрику на облицима и сликама индексираним на њих. Модели метричке теорије шаблона, посебно дејство групе на орбиту облика и форми, представљају централни алат за формалне дефиниције у рачунарској анатомији.

Историја

Рачунарска анатомија је проучавање облика и форми на милиметарској скали морфома или бруто анатомије, односно морфологије, фокусирајући се на проучавање подмногострукости ${ℝ}^3,$ тачака, кривих, површина и подзапремина људске анатомије. Рани модерни рачунарски неуроанатом био је Давид ван Есен који је извео нека од раних физичких расклапања људског мозга на основу штампања људског кортекса и сечења. Публикација Талерахових координата коју је објавио Жан Талерах важна је прекретница на скали морфома која демонстрира фундаменталну основу локалних координатних система у проучавању неуроанатомије и тиме јасну везу са картама диференцијалне геометрије. У исто време, виртуелно мапирање у рачунарској анатомији кроз густе координате слика високе резолуције већ се дешавало у најранијим развојима Ружене Бајчи и Фреда Букштајна базираним на компјутеризованој аксијалној томографији и магнетној резонанцији. Најраније увођење употребе протока дифеоморфизама за трансформацију координатних система у анализи слика и медицинском снимању дело је Кристенсена, Џошија, Милера и Рабита.

Прва формализација рачунарске анатомије као орбите узорака шаблона под дејством групе дифеоморфизама била је у оригиналном предавању које су под тим насловом одржали Гренандер и Милер у мају 1997. на 50. годишњици Одељења за примењену математику на Универзитету Браун, и у накнадној публикацији. Ово је била основа за снажно одвајање од већег дела претходног рада на напредним методама за просторну нормализацију и регистрацију слика које су историјски биле изграђене на појмовима сабирања и проширења базе. Трансформације које чувају структуру, а које су централне за модерну област рачунарске анатомије, хомеоморфизми и дифеоморфизми, глатко преносе глатке подмногострукости. Они се генеришу путем Лагранжових и Ојлерових протока који задовољавају закон композиције функција формирајући својство групе, али нису адитивни.

Оригинални модел рачунарске анатомије био је тројка, $(𝒢,ℳ,𝒫),$ група $g\in 𝒢$, орбита облика и форми $m\in ℳ$, и закони вероватноће $P$ који кодирају варијације објеката у орбити. Шаблон или колекција шаблона су елементи у орбити $m_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}}\in ℳ$ облика.

Лагранжове и Хамилтонове формулације једначина кретања рачунарске анатомије узеле су маха после 1997. године са неколико кључних састанака укључујући састанак у Луминију 1997. који је организовала Азенкотова школа у Екол Нормал Кашан о „Математици препознавања облика” и Триместар на Институту Анри Поенкаре 1998. који је организовао Дејвид Мамфорд „Математичка питања у обради сигнала и слика”, што је катализовало групе Хопкинс-Браун-ЕНС Кашан и накнадне развоје и везе рачунарске анатомије са развојима у глобалној анализи.

Развој у рачунарској анатомији укључивао је успостављање услова Собољевљеве глаткоће на метрици дифеоморфометрије како би се осигурало постојање решења варијационих проблема у простору дифеоморфизама, извођење Ојлер-Лагранжових једначина које карактеришу геодезијске линије кроз групу и припадајућих закона одржања, демонстрацију метричких својстава десно инваријантне метрике, демонстрацију да Ојлер-Лагранжове једначине имају добро постављен проблем почетних вредности са јединственим решењима за све време, и са првим резултатима о секционим кривинама за метрику дифеоморфометрије у просторима са оријентирима. Након састанка у Лос Аламосу 2002. године, Џошијева оригинална сингуларна решења оријентира за велике деформације у рачунарској анатомији повезана су са шиљастим солитонима или пиконима као решењима за Камаса-Холмову једначину. Након тога, успостављене су везе између Ојлер-Лагранжових једначина рачунарске анатомије за густине момента за десно инваријантну метрику која задовољава Собољевљеву глаткоћу са карактеризацијом коју је дао Владимир Арнолд за Ојлерову једначину за нестишљиве протоке која описује геодезијске линије у групи дифеоморфизама који чувају запремину. Уследили су први алгоритми, генерално названи LDDMM (за дифеоморфно метричко мапирање великих деформација), за рачунање веза између оријентира у запреминама и сферичним многострукостима, кривама, струјама и површинама, запреминама, тензорима, варифолдима, и временским серијама.

Ови доприноси рачунарске анатомије глобалној анализи која је повезана са бесконачно димензионалним многострукостима подгрупа групе дифеоморфизама далеко су од тривијалних. Оригинална идеја о бављењу диференцијалном геометријом, кривинама и геодезијским линијама на бесконачно димензионалним многострукостима сеже до хабилитације Бернхарда Римана (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen); кључна модерна књига која поставља темеље оваквих идеја у глобалној анализи је дело Михора.

Примене рачунарске анатомије у медицинском снимању наставиле су да цветају након два организована састанка на конференцијама Института за чисту и примењену математику на Универзитету Калифорније у Лос Анђелесу. Рачунарска анатомија је била корисна у стварању прецизних модела атрофије људског мозга на скали морфома, као и срчаних шаблона, те у моделовању биолошких система. Од касних 1990-их, рачунарска анатомија је постала важан део развоја нових технологија за област медицинског снимања. Дигитални атласи су основни део модерног образовања у медицинским школама и неуровизуелног истраживања на скали морфома. Методе базиране на атласима и виртуелни уџбеници који прихватају варијације као у деформабилним шаблонима у центру су многих платформи за анализу неуро-слика, укључујући Freesurfer, FSL, MRIStudio, SPM. Дифеоморфна регистрација, уведена 1990-их, сада је важан играч са постојећим базама кодова организованим око ANTS, DARTEL, DEMONS, LDDMM, StationaryLDDMM, FastLDDMM, што су примери активно коришћених рачунарских кодова за конструкцију кореспонденција између координатних система базираних на ретким карактеристикама и густим сликама. Воксел-базирана морфометрија је важна технологија изграђена на многим од ових принципа.

Модел орбите деформабилних шаблона у рачунарској анатомији

Модел људске анатомије је деформабилни шаблон, орбита примерака под дејством групе. Модели деформабилних шаблона били су централни за Гренандерову метричку теорију шаблона, објашњавајући типичност помоћу шаблона, и објашњавајући варијабилност помоћу трансформације шаблона. Орбита под дејством групе као репрезентација деформабилног шаблона је класична формулација из диференцијалне геометрије. Простор облика означава се са $m\in ℳ$, са групом $(𝒢,\circ )$ са законом композиције $\circ$; дејство групе на облике означава се са $g\cdot m$, где је дејство групе $g\cdot m\in ℳ,m\in ℳ$ дефинисано тако да задовољава

$(g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in ℳ.$

Орбита $ℳ$ шаблона постаје простор свих облика, $ℳ\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}},g\in 𝒢\}$, будући да је хомогена под дејством елемената из $𝒢$.

Слика приказује три структуре медијалног темпоралног режња: амигдалу, енторинални кортекс и хипокампус са приказаним фидуцијалним оријентирима уграђеним у МРИ позадину.

Орбитни модел рачунарске анатомије је апстрактна алгебра – за поређење са линеарном алгебром – пошто групе делују нелинеарно на облике. Ово је генерализација класичних модела линеарне алгебре, у којима су скупови коначнодимензионалних ${ℝ}^n$ вектора замењени коначнодимензионалним анатомским подмногострукостима (тачкама, кривама, површинама и запреминама) и њиховим сликама, а $n\times n$ матрице линеарне алгебре су замењене координатним трансформацијама базираним на линеарним и афиним групама и општијим високодимензионалним групама дифеоморфизама.

Облици и форме

Централни објекти у рачунарској анатомији су облици или форме, при чему је један скуп примера 0,1,2,3-димензионалне подмногострукости простора ${ℝ}^3$, а други скуп примера су слике генерисане путем медицинског снимања као што је магнетна резонанција (МРИ) и функционална магнетна резонанција.

Триангулисане мрежасте површине које приказују субкортикалне структуре: амигдалу, хипокампус, таламус, каудатус, путамен, коморе. Облици су означени са $m(u),u\in U\subset {ℝ}^1\to {ℝ}^2$ и представљени као триангулисане мреже.

0-димензионалне многострукости су оријентири или фидуцијалне тачке; 1-димензионалне многострукости су криве као што су сулкалне и гиралне криве у мозгу; 2-димензионалне многострукости одговарају границама подструктура у анатомији као што су субкортикалне структуре средњег мозга или гирална површина неокортекса; подзапремине одговарају подрегионима људског тела, срцу, таламусу, бубрегу.

Оријентири $X\doteq \{x_1,\dots ,x_n\}\subset {ℝ}^3\in ℳ$ су колекције тачака без друге структуре, које оцртавају важне фидуцијале унутар људског облика и форме (погледајте приложену слику са оријентирима). Облици подмногострукости као што су површине $X\subset {ℝ}^3\in ℳ$ су колекције тачака моделоване као параметризоване локалном картом или имерзијом $m:U\subset {ℝ}^{1,2}\to {ℝ}^3$, $m(u),u\in U$ (погледајте слику која приказује облике као мрежасте површине). Слике као што су МР слике или ДТИ слике су $I\in ℳ$, и представљају густе функције $I(x),x\in X\subset {ℝ}^{1,2,3}$ које су скалари, вектори и матрице (погледајте слику која приказује скаларну слику).

Групе и дејства група

Приказ МРИ пресека кроз 3Д мозак који представља скаларну слику $I(x),x\in {ℝ}^2$ базирану на Т1-пондерисању.

Групе и дејства група су познати инжењерској заједници са универзалном популаризацијом и стандардизацијом линеарне алгебре као основног модела за анализу сигнала и система у машинству, електротехници и примењеној математици. У линеарној алгебри матричне групе (матрице са инверзима) су централна структура, са дејством групе дефинисаним уобичајеном дефиницијом $A$ као $n\times n$ матрице, која делује на $x\in {ℝ}^n$ као $n\times 1$ векторе; орбита у линеарној алгебри је скуп $n$-вектора датих са $y=A\cdot x\in {ℝ}^n$, што је дејство групе матрица кроз орбиту ${ℝ}^n$.

Централна група у рачунарској анатомији дефинисана на запреминама у ${ℝ}^3$ су дифеоморфизми $𝒢\doteq \mathrm{Diff}$ који су пресликавања са 3 компоненте $\phi (\cdot )=({\phi }_1(\cdot ),{\phi }_2(\cdot ),{\phi }_3(\cdot ))$, законом композиције функција $\phi \circ {\phi }^{\prime }(\cdot )\doteq \phi ({\phi }^{\prime }(\cdot ))$, са инверзом $\phi \circ {\phi }^{-1}(\cdot )=\phi ({\phi }^{-1}(\cdot ))=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

Најпопуларније су скаларне слике, $I(x),x\in {ℝ}^3$, са дејством са десне стране преко инверза.

$\phi \cdot I(x)=I\circ {\phi }^{-1}(x),x\in {ℝ}^3.$

За подмногострукости $X\subset {ℝ}^3\in ℳ$, параметризоване картом или имерзијом $m(u),u\in U$, дифеоморфно дејство представља проток позиције

$\phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U.$

Дефинисано је неколико дејстава група у рачунарској анатомији.

Лагранжови и Ојлерови протоци за генерисање дифеоморфизама

За проучавање кинематике крутог тела, нискодимензионалне матричне Лијеве групе биле су централни фокус. Матричне групе су нискодимензионална пресликавања, која представљају дифеоморфизме који пружају узајамно једнозначне кореспонденције између координатних система, са глатким инверзом. Матрична група ротација и скалирања може се генерисати путем коначнодимензионалних матрица затвореног облика које су решење једноставних обичних диференцијалних једначина са решењима датим путем матричне експоненцијале.

За проучавање деформабилног облика у рачунарској анатомији, општија група дифеоморфизама била је група избора, која представља бесконачнодимензионални аналог. Високодимензионалне групе дифеоморфизама које се користе у рачунарској анатомији генеришу се преко глатких протока ${\phi }_t,t\in [0,1]$ који задовољавају Лагранжове и Ојлерове спецификације поља протока како је први пут уведено у, задовољавајући обичну диференцијалну једначину:

Приказ Лагранжовог протока координата $x\in X$ са припадајућим векторским пољима $v_t,t\in [0,1]$ која задовољавају обичну диференцијалну једначину ${\dot{\phi }}_t=v_t({\phi }_t),{\phi }_0=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

Шаблон:NumBlk са $v\doteq (v_1,v_2,v_3)$ као векторским пољима на ${ℝ}^3$ названим Ојлерова брзина честица на позицији $\phi$ протока. Векторска поља су функције у простору функција, моделована као глатки Хилбертов простор високе димензије, при чему је Јакобијан протока $D\phi \doteq \left(\frac{\partial {\phi }_i}{\partial x_j}\right)$ високодимензионално поље такође у простору функција, а не нискодимензионална матрица као код матричних група. Протоци су први пут уведени за велике деформације при упаривању слика; ${\dot{\phi }}_t(x)$ је тренутна брзина честице $x$ у времену $t$.

Инверз ${\phi }_t^{-1},t\in [0,1]$ потребан за групу дефинисан је на Ојлеровом векторском пољу са адвективним инверзним протоком

Група дифеоморфизама у рачунарској анатомији

Група дифеоморфизама је веома велика. Да би се осигурали глатки протоци дифеоморфизама избегавајући решења налик ударним таласима за инверз, векторска поља морају бити барем једном непрекидно диференцијабилна у простору. За дифеоморфизме на ${ℝ}^3$, векторска поља се моделују као елементи Хилбертовог простора $(V,\Vert \cdot {\Vert }_V)$ користећи теореме о улагању Собољева тако да сваки елемент има строго више од 2 генерализована квадратно интеграбилна просторна извода (дакле $v_i\in H_0^3,i=1,2,3,$ је довољно), што даје једном непрекидно диференцијабилне функције.

Група дифеоморфизама су протоци са векторским пољима која су апсолутно интеграбилна у Собољевљевој норми:Шаблон:NumBlk где је $\Vert v{\Vert }_V^2\doteq {\int }_{X}Av\cdot vdx,v\in V,$ са линеарним оператором $A$ који пресликава у дуални простор $A:V\mapsto V^{\ast }$, при чему се интеграл рачуна парцијалном интеграцијом када је $Av\in V^{\ast }$ уопштена функција у дуалном простору.

Дифеоморфометрија: метрички простор облика и форми

Проучавање метрика на групама дифеоморфизама и проучавање метрика између многострукости и површина било је област значајних истраживања. Метрика дифеоморфометрије мери колико су близу или далеко два облика или слике једно од другог; метричка дужина је најкраћа дужина протока који преноси један координатни систем у други.

Често, позната Еуклидска метрика није директно применљива јер обрасци облика и слика не формирају векторски простор. У Римановом орбиталном моделу рачунарске анатомије, дифеоморфизми који делују на форме $\phi \cdot m\in ℳ,\phi \in {\mathrm{Diff}}_V,m\in ℳ$ не делују линеарно. Постоји много начина да се дефинишу метрике, а за скупове повезане са облицима, Хаусдорфова метрика је још један од њих. Метод који користимо за индуковање Риманове метрике користи се за индуковање метрике на орбити облика дефинишући је у терминима метричке дужине између дифеоморфних трансформација координатних система протока. Мерење дужина геодезијског протока између координатних система у орбити облика назива се дифеоморфометрија.

Десно инваријантна метрика на дифеоморфизмима

Дефинишимо растојање на групи дифеоморфизама

ово је десно инваријантна метрика дифеоморфометрије, инваријантна на репараметризацију простора јер за све $\phi \in {\mathrm{Diff}}_V$,

$d_{{\mathrm{Diff}}_V}(\psi ,\phi )=d_{{\mathrm{Diff}}_V}(\psi \circ \phi ,\phi \circ \phi )$.

Метрика на облицима и формама

Растојање на облицима и формама,$d_{ℳ}:ℳ\times ℳ\to {ℝ}^{+}$,

слике су означене заједно са орбитом као $I\in ℐ$ са метриком $,d_{ℐ}$.

Интеграл дејства за Хамилтонов принцип на дифеоморфним протоцима

У класичној механици, еволуција физичких система се описује решењима Ојлер-Лагранжових једначина повезаних са Хамилтоновим принципом најмањег дејства. Ово је стандардни начин, на пример, за добијање Њутнових закона кретања слободних честица. Општије, Ојлер-Лагранжове једначине могу се извести за системе генерализованих координата. Ојлер-Лагранжова једначина у рачунарској анатомији описује најкраће путање геодезијског протока између координатних система метрике дифеоморфизама. У рачунарској анатомији, генерализоване координате су проток дифеоморфизма и његова Лагранжова брзина $\phi ,\dot{\phi }$, при чему су ове две величине повезане преко Ојлерове брзине $v\doteq \dot{\phi }\circ {\phi }^{-1}$. Хамилтонов принцип за генерисање Ојлер-Лагранжове једначине захтева интеграл дејства на Лагранжијану дат са Шаблон:NumBlk Лагранжијан је дат кинетичком енергијом:Шаблон:NumBlk

Дифеоморфни или Ојлеров момент облика

У рачунарској анатомији, $Av$ је прво назван Ојлеров или дифеоморфни момент облика јер када се интеграли према Ојлеровој брзини $v$ даје густину енергије, и зато што постоји одржање дифеоморфног момента облика које важи. Оператор $A$ је генерализовани момент инерције или инерцијални оператор.

Ојлер-Лагранжова једначина за момент облика на геодезијским линијама на групи дифеоморфизама

Класично израчунавање Ојлер-Лагранжове једначине из Хамилтоновог принципа захтева пертурбацију Лагранжијана на векторском пољу у кинетичкој енергији у односу на пертурбацију протока првог реда. Ово захтева прилагођавање помоћу Лијеве заграде векторског поља, дате оператором $a{d}_v:w\in V\mapsto V$ који укључује Јакобијан дат са

$a{d}_v[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V$.

Дефинишући адјунговани оператор $a{d}_v^{\ast }:V^{\ast }\to V^{\ast },$ тада варијација првог реда даје Ојлеров момент облика $Av\in V^{\ast }$ који задовољава генерализовану једначину: Шаблон:NumBlk

што значи да за све глатке $w\in V,$ важи

${\int }_X(\frac{d}{dt}A{v}_t+a{d}_{v_t}^{\ast }(A{v}_t))\cdot wdx={\int }_X\frac{d}{dt}A{v}_t\cdot wdx+{\int }_{X}A{v}_t\cdot ((D{v}_t)w-(Dw)v_t)dx=0.$

Рачунарска анатомија је проучавање кретања подмногострукости, тачака, кривих, површина и запремина. Момент повезан са тачкама, кривама и површинама је у свим случајевима сингуларан, што имплицира да је момент концентрисан на подскуповима простора ${ℝ}^3$ чија је димензија $\le 2$ у Лебеговој мери. У таквим случајевима, енергија је и даље добро дефинисана $(A{v}_t\mid v_t)$ јер, иако је $A{v}_t$ уопштена функција, векторска поља су глатка и Ојлеров момент се разуме преко његовог дејства на глатке функције. Савршена илустрација овога је да чак и када се ради о суперпозицији Диракових делта функција, брзина координата у целој запремини се креће глатко. Ојлер-Лагранжова једначина (Шаблон:EquationNote) на дифеоморфизмима за уопштене функције $Av\in V^{\ast }$ изведена је у. У Интерпретацији Ојлер-Лагранжове једначине на геодезијским линијама помоћу Риманове метрике и Лијеве заграде, извођења су дата у терминима адјунгованог оператора и Лијеве заграде за групу дифеоморфизама. Почела је да се назива EPDiff једначина за дифеоморфизме повезујући се са Ојлер-Поенкареовим методом који је проучаван у контексту инерцијалног оператора $A=identity$ за нестишљиве флуиде без дивергенције.

Дифеоморфни момент облика: класична векторска функција

За случај густине момента $(A{v}_t\mid w)={\int }_X{\mu }_t\cdot wdx$, Ојлер-Лагранжова једначина има класично решење:Шаблон:NumBlkОјлер-Лагранжова једначина на дифеоморфизмима, класично дефинисана за густине момента, први пут се појавила у за анализу медицинских слика.

Риманова експоненцијала (геодезијско позиционирање) и Риманов логаритам (геодезијске координате)

У медицинском снимању и рачунарској анатомији, позиционирање и координисање облика су фундаменталне операције; систем за позиционирање анатомских координата и облика изграђен на метрици и Ојлер-Лагранжовој једначини је систем геодезијског позиционирања како су први објаснили Милер, Труве и Јунес. Решавање геодезијске линије из почетног услова $v_0$ назива се Риманова експоненцијала, пресликавање ${\mathrm{Exp}}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(\cdot ):V\to {\mathrm{Diff}}_V$ у неутралном елементу (идентитету) у групу.

Риманова експоненцијала задовољава ${\mathrm{Exp}}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(v_0)={\phi }_1$ за почетни услов ${\dot{\phi }}_0=v_0$, динамику векторског поља ${\dot{\phi }}_t=v_t\circ {\phi }_t,t\in [0,1]$,

• за класичну једначину дифеоморфног момента облика ${\int }_{X}A{v}_t\cdot wdx$, $Av\in V$, тада

$\frac{d}{dt}A{v}_t+(D{v}_t{)}^{T}A{v}_t+(DA{v}_t)v_t+(\mathrm{\nabla }\cdot v)A{v}_t=0;$

• за генерализовану једначину, тада $Av\in V^{\ast }$, $w\in V$,

${\int }_X\frac{d}{dt}A{v}_t\cdot wdx+{\int }_{X}A{v}_t\cdot ((D{v}_t)w-(Dw)v_t)dx=0.$

Израчунавање протока $v_0$ на координате назива се Риманов логаритам, пресликавање $Lo{g}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(\cdot ):{\mathrm{Diff}}_V\to V$ у идентитету са $\phi$ на векторско поље $v_0\in V$;

${\log }_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(\phi )=v_0\text{почетни услов за EL геодезијску линију}{\dot{\phi }}_0=v_0,{\phi }_0=id,{\phi }_1=\phi .$

Проширена на целу групу она постају

$\phi ={\mathrm{Exp}}_{\phi }(v_0\circ \phi )\doteq {\mathrm{Exp}}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(v_0)\circ \phi$ ; ${\log }_{\phi }(\phi )\doteq {\log }_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(\phi \circ {\phi }^{-1})\circ \phi$ .

Ово су инверзи једно другог за јединствена решења Логаритма; прво се назива геодезијско позиционирање, а друго геодезијске координате (видите експоненцијално пресликавање, Риманова геометрија за коначнодимензионалну верзију). Геодезијска метрика је локално спљоштавање Римановог координатног система (видите слику).

Приказ метричког локалног спљоштавања координисаних многострукости облика и форми. Локална метрика је дата нормом векторског поља $\Vert v_0{\Vert }_V$ геодезијског пресликавања ${\mathrm{Exp}}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(v_0)\cdot m$

Хамилтонова формулација рачунарске анатомије

У рачунарској анатомији дифеоморфизми се користе за потискивање координатних система, а векторска поља се користе као контрола унутар анатомске орбите или морфолошког простора. Модел је модел динамичког система, проток координата $t\mapsto {\phi }_t\in {\mathrm{Diff}}_V$ и контрола векторског поља $t\mapsto v_t\in V$ повезани преко ${\dot{\phi }}_t=v_t\cdot {\phi }_t,{\phi }_0=\mathrm{i}\mathrm{d}.$ Хамилтонов поглед репараметризује расподелу момента $Av\in V^{\ast }$ у терминима коњугованог момента или канонског момента, уведеног као Лагранжов множилац $p:\dot{\phi }\mapsto (p\mid \dot{\phi })$ који ограничава Лагранжову брзину ${\dot{\phi }}_t=v_t\circ {\phi }_t$ на следећи начин:

$H({\phi }_t,p_t,v_t)={\int }_X{p}_t\cdot (v_t\circ {\phi }_t)dx-\frac{1}{2}{\int }_{X}A{v}_t\cdot v_{t}dx.$

Ова функција је проширени Хамилтонијан. Понтрјагинов принцип максимума даје оптимизујуће векторско поље које одређује геодезијски проток који задовољава ${\dot{\phi }}_t=v_t\circ {\phi }_t,{\phi }_0=\mathrm{i}\mathrm{d},$ као и редуковани Хамилтонијан

$H({\phi }_t,p_t)\doteq \underset{v}{max}H({\phi }_t,p_t,v).$

Лагранжов множилац у свом дејству као линеарна форма има сопствени унутрашњи производ канонског момента који делује на брзину протока који зависи од облика, нпр. за оријентире то је збир, за површине површински интеграл, а за запремине то је запремински интеграл у односу на $dx$ на ${ℝ}^3$. У свим случајевима Гринова језгра носе тежине које представљају канонски момент који еволуира према обичној диференцијалној једначини која одговара EL али је геодезијска репараметризација у канонском моменту. Оптимизујуће векторско поље дато је са

$v_t\doteq {\mathrm{argmax}}_{v}H({\phi }_t,p_t,v)$

са динамиком канонског момента која репараметризује векторско поље дуж геодезијске линије Шаблон:NumBlk

Стационарност Хамилтонијана и кинетичке енергије дуж Ојлер-Лагранжа

Док су векторска поља проширена преко целог позадинског простора ${ℝ}^3$, геодезијски протоци повезани са подмногострукостима имају Ојлеров момент облика који еволуира као уопштена функција $A{v}_t\in V^{\ast }$ концентрисана на подмногострукостима. За оријентире геодезијске линије имају Ојлеров момент облика који представља суперпозицију делта дистрибуција које путују са коначним бројем честица; дифеоморфни проток координата има брзине у опсегу пондерисаних Гринових језгара. За површине, момент је површински интеграл делта дистрибуција које путују са површином.

Геодезијске линије које повезују координатне системе задовољавајући Шаблон:EquationNote имају стационарност Лагранжијана. Хамилтонијан је дат екстремумом дуж путање $t\in [0,1]$, $H(\phi ,p)=\underset{v}{max}H(\phi ,p,v)$, што је једнако Шаблон:EquationNote и стационаран је дуж Шаблон:EquationNote. Дефинишући геодезијску брзину у идентитету $v_0=\arg \underset{v}{max}H({\phi }_0,p_0,v)$, онда дуж геодезијске линије важи Шаблон:NumBlkСтационарност Хамилтонијана демонстрира интерпретацију Лагранжовог множиоца као момента; интегрисан према брзини $\dot{\phi }$ даје густину енергије. Канонски момент има много имена. У оптималном управљању, проток $\phi$ се интерпретира као стање, а $p$ се интерпретира као коњуговано стање, или коњуговани момент. Геодезијска линија од EL имплицира да спецификација векторских поља $v_0$ или Ојлеровог момента $A{v}_0$ у тренутку $t=0$, или спецификација канонског момента $p_0$ одређује проток.

Метрика на геодезијским протоцима оријентира, површина и запремина унутар орбите

У рачунарској анатомији подмногострукости су скупови тачака, криве, површине и подзапремине који представљају основне примитиве. Геодезијски протоци између подмногострукости одређују растојање и формирају основне алате за мерење и транспорт у дифеоморфометрији. У тренутку $t=0$ геодезијска линија има векторско поље $v_0=K{p}_0$ одређено коњугованим моментом и Гриновим језгром инерцијалног оператора који дефинише Ојлеров момент $K=A^{-1}$. Метричко растојање између координатних система повезаних геодезијском линијом одређено је индукованим растојањем између идентитета и елемента групе:

$d_{{\mathrm{Diff}}_V}(\mathrm{i}\mathrm{d},\phi )=\Vert {\log }_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(\phi ){\Vert }_V=\Vert v_0{\Vert }_V=\sqrt{2H(\mathrm{i}\mathrm{d},p_0)}$

Закони одржања дифеоморфног момента облика у рачунарској анатомији

С обзиром на најмање дејство, постоји природна дефиниција момента повезаног са генерализованим координатама; величина која делује против брзине даје енергију. Ово поље је проучавало два облика, момент повезан са Ојлеровим векторским пољем назван Ојлеров дифеоморфни момент облика, и момент повезан са почетним координатама или канонским координатама назван канонски дифеоморфни момент облика. Сваки од њих има закон одржања. Очување момента иде руку под руку са Шаблон:EquationNote. У рачунарској анатомији, $Av$ је Ојлеров момент (импулс) јер када се интегрише према Ојлеровој брзини $v$ даје густину енергије; оператор $A$ је генерализовани момент инерције или инерцијални оператор који делујући на Ојлерову брзину даје момент који се одржава дуж геодезијске линије: Шаблон:NumBlk

Очување Ојлеровог момента облика приказано је у и следи из Шаблон:EquationNote; очување канонског момента приказано је у Шаблон:Сакриј

Геодезијска интерполација информација између координатних система путем варијационих проблема

Конструкција дифеоморфних кореспонденција између облика израчунава координате почетног векторског поља $v_0\in V$ и одговарајуће тежине на Гриновим језгрима $p_0$. Ове почетне координате одређују се упаривањем облика, што се назива дифеоморфно метричко мапирање великих деформација (LDDMM). LDDMM је решен за оријентире са и без кореспонденције и за густа упаривања слика. кривих, површина, густих векторских и тензорских снимака, и варифолда уз уклањање оријентације. LDDMM рачуна геодезијске протоке из Шаблон:EquationNote на циљне координате, додајући интегралу дејства $\frac{1}{2}{\int }_0^1{\int }_{X}A{v}_t\cdot v_{t}dxdt$ услов поклапања крајњих тачака $E:{\phi }_1\to R^{+}$ који мери кореспонденцију елемената у орбити под трансформацијом координатног система. Постојање решења испитивано је за упаривање слика. Решење варијационог проблема задовољава Шаблон:EquationNote за $t\in [0,1)$ са граничним условом.

Упаривање базирано на минимизацији дејства кинетичке енергије са условом крајње тачке

$\begin{array}{cc}& min\{C(\phi ):v=\dot{\phi }\circ {\phi }^{-1},{\phi }_0=\mathrm{i}\mathrm{d}\}\\ \doteq & \frac{1}{2}{\int }_0^1{\int }_{X}A{v}_t\cdot v_{t}dxdt+E({\phi }_1)\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}\text{Ојлерово одржање }& \frac{d}{dt}A{v}_t+a{d}_{v_t}^{\ast }(A{v}_t)=0,t\in [0,1),\\ \text{Гранични услов }& {\phi }_0=\mathrm{i}\mathrm{d},A{v}_1={-\frac{\partial E(\phi )}{\partial \phi }|}_{\phi ={\phi }_1}.\end{array}$

Одржање из Шаблон:EquationNote проширује гранични услов у тренутку $t=1$ на остатак путање $t\in [0,1)$. Проблем нетачног упаривања са чланом упаривања крајње тачке $E({\phi }_1)$ има неколико алтернативних облика. Једна од кључних идеја стационарности Хамилтонијана дуж геодезијског решења је да се интегрисани текући трошак своди на почетни трошак у тренутку t = 0, геодезијске линије из Шаблон:EquationNote одређене су њиховим почетним условом $v_0$.

Текући трошак је редукован на почетни трошак одређен помоћу $v_0=K{p}_0$ из Шаблон:EquationNote.

Упаривање базирано на геодезијском испаљивању (geodesic shooting)

$\begin{array}{cc}& \underset{v_0}{min}C(v_0)\doteq \frac{1}{2}{\int }_{X}A{v}_0\cdot v_{0}dx+E({\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(v_0)\cdot I_0)\\ & \underset{p_0}{min}C(p_0)=\frac{1}{2}{\int }_X{p}_0\cdot K{p}_{0}dx+E({\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}}_{\text{id}}(K{p}_0)\cdot I_0)\end{array}$

Проблем упаривања експлицитно индексиран на почетни услов $v_0$ назива се испаљивање (shooting), што такође може бити репараметризовано путем коњугованог момента $p_0$.

Упаривање густих слика у рачунарској анатомији

Упаривање густих слика има дугу историју са најранијим напорима који су користили оквир малих деформација. Велике деформације почеле су раних 1990-их, са првим доказом постојања решења за варијациони проблем за протоке дифеоморфизама за упаривање густих слика успостављеним у. Бег је ово решио путем једног од најранијих LDDMM алгоритама базираном на решавању варијационог упаривања са крајњом тачком дефинисаном густим сликама у односу на векторска поља, узимајући варијације у односу на векторска поља. Друго решење за упаривање густих слика репараметризује проблем оптимизације у терминима стања $q_t\doteq I\circ {\phi }_t^{-1},q_0=I$ дајући решење у терминима инфинитезималног дејства дефинисаног једначином адвекције.

LDDMM упаривање густих слика

За Бегов LDDMM, означимо Слику са $I(x),x\in X$ са дејством групе $\phi \cdot I\doteq I\circ {\phi }^{-1}$. Посматрајући ово као проблем оптималног управљања, стање система је дифеоморфни проток координата ${\phi }_t,t\in [0,1]$, при чему динамика која повезује контролу $v_t,t\in [0,1]$ са стањем дата са $\dot{\phi }=v\circ \phi$. Услов упаривања крајње тачке $E({\phi }_1)\doteq \Vert I\circ {\phi }_1^{-1}-I^{\prime }{\Vert }^2$ даје варијациони проблем

$\{\begin{array}{cc}\text{Услов крајње тачке:}& A{v}_1={\mu }_{1}dx,{\mu }_1=(I\circ {\phi }_1^{-1}-I^{\prime })\mathrm{\nabla }(I\circ {\phi }_1^{-1}),\\ \text{Одржање:}& A{v}_t={\mu }_{t}dx,{\mu }_t=(D{\phi }_t^{-1}{)}^T{\mu }_0\circ {\phi }_t^{-1}|D{\phi }_t^{-1}|.\\ & {\mu }_0=(I-I^{\prime }\circ {\phi }_1)\mathrm{\nabla }I|D{\phi }_1|.\end{array}$

Бегов итеративни LDDMM алгоритам има фиксне тачке које задовољавају неопходне услове оптимизатора. Итеративни алгоритам је дат у Беговом LDDMM алгоритму за упаривање густих слика.

Хамилтонов LDDMM у редукованом адвективном стању

Означимо Слику са $I(x),x\in X$, са стањем $q_t\doteq I\circ {\phi }_t^{-1}$ и динамиком која повезује стање и контролу датом адвективним чланом ${\dot{q}}_t=-\mathrm{\nabla }{q}_t\cdot v_t$. Крајња тачка $E(q_1)\doteq \Vert q_1-I^{\prime }{\Vert }^2$ даје варијациони проблем Шаблон:NumBlk Вијалардов итеративни Хамилтонов LDDMM има фиксне тачке које задовољавају неопходне услове оптимизатора.

Упаривање слика дифузионих тензора у рачунарској анатомији

Слика приказује слику дифузионог тензора са три нивоа боја који осликавају оријентације три сопствена вектора матричне слике $I(x),x\in {ℝ}^2$, слике са матричним вредностима; свака од три боје представља један правац.

Густо LDDMM упаривање тензора узима слике као 3x1 векторе и 3x3 тензоре решавајући варијациони проблем упаривања између координатног система заснованог на главним сопственим векторима слике магнетне резонанције дифузионог тензора (DTI) означене са $M(x),x\in {ℝ}^3$ која се састоји од $3\times 3$-тензора у сваком вокселу. Неколико дејстава група дефинисано је на основу Фробенијусове норме матрице између квадратних матрица $\Vert A{\Vert }_F^2\doteq \mathrm{trace}{A}^{T}A$. На приложеној слици приказана је DTI слика илустрована путем њене мапе боја која осликава оријентације сопствених вектора DTI матрице у сваком вокселу са бојом одређеном оријентацијом праваца. Означимо слику $3\times 3$ тензора са $M(x),x\in {ℝ}^3$ са сопственим елементима $\{{\lambda }_i(x),e_i(x),i=1,2,3\}$, ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3$.

Трансформација координатног система заснована на DTI снимању користила је два дејства базирана на главном сопственом вектору или на целој матрици.

LDDMM упаривање засновано на главном сопственом вектору матрице дифузионог тензора узима слику $I(x),x\in {ℝ}^3$ као јединично векторско поље дефинисано првим сопственим вектором. Дејство групе постаје

$\phi \cdot I=\{\begin{array}{cc}\frac{D_{{\phi }^{-1}}\phi I\circ {\phi }^{-1}\Vert I\circ {\phi }^{-1}\Vert }{\Vert D_{{\phi }^{-1}}\phi I\circ {\phi }^{-1}\Vert }& I\circ \phi \ne 0;\\ 0& \text{иначе.}\end{array}$

За LDDMM упаривање засновано на целој тензорској матрици дејство групе постаје $\phi \cdot M=({\lambda }_1{\hat{e}}_1{\hat{e}}_1^T+{\lambda }_2{\hat{e}}_2{\hat{e}}_2^T+{\lambda }_3{\hat{e}}_3{\hat{e}}_3^T)\circ {\phi }^{-1},$ трансформисани сопствени вектори су

$\begin{array}{cc}{\hat{e}}_1& =\frac{D\phi e_1}{\Vert D\phi e_1\Vert },{\hat{e}}_2=\frac{D\phi e_2-⟨{\hat{e}}_1,D\phi e_2⟩{\hat{e}}_1}{\sqrt{\Vert D\phi e_2{\Vert }^2-⟨{\hat{e}}_1,D\phi e_2{⟩}^2}},{\hat{e}}_3={\hat{e}}_1\times {\hat{e}}_2\end{array}$.

Варијациони проблем упаривања на главни сопствени вектор или матрицу описан је у LDDMM упаривању слика тензора.

Упаривање дифузионих слика високе угаоне резолуције (HARDI) у рачунарској анатомији

Дифузионо снимање високе угаоне резолуције (HARDI) решава добро познато ограничење DTI-ја, а то је да DTI може открити само једну доминантну оријентацију влакана на свакој локацији. HARDI мери дифузију дуж $n$ равномерно распоређених праваца на сфери и може да карактерише сложеније геометрије влакана. HARDI се може користити за реконструкцију функције дистрибуције оријентације (ODF) која карактерише угаони профил функције густине вероватноће дифузије молекула воде. ODF је функција дефинисана на јединичној сфери, ${𝕊}^2$.

Густо LDDMM ODF упаривање узима HARDI податке као ODF у сваком вокселу и решава LDDMM варијациони проблем у простору ODF. У области информационе геометрије, простор ODF формира Риманову многострукост са Фишер-Раоовом метриком. За сврху LDDMM ODF мапирања, бира се репрезентација квадратног корена јер је то једна од најефикаснијих репрезентација до сада пронађених пошто су различите Риманове операције, као што су геодезијске линије, експоненцијална пресликавања и логаритамска пресликавања, доступне у затвореном облику. У наставку ћемо означити ODF квадратног корена ($\sqrt{\text{ODF}}$) као $\psi (𝐬)$, где је $\psi (𝐬)$ ненегативно да би се осигурала јединственост и ${\int }_{𝐬\in {𝕊}^2}{\psi }^2(𝐬)d𝐬=1$. Варијациони проблем за упаривање претпоставља да се две ODF запремине могу генерисати једна из друге преко протока дифеоморфизама ${\phi }_t$, који су решења обичних диференцијалних једначина ${\dot{\phi }}_t=v_t({\phi }_t),t\in [0,1],$ почевши од идентитетског пресликавања ${\phi }_0=\mathrm{i}\mathrm{d}$. Означимо дејство дифеоморфизма на шаблон као ${\phi }_1\cdot {\psi }_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}}(𝐬,x)$, $𝐬\in {𝕊}^2$, $x\in X$ су редом координате јединичне сфере, ${𝕊}^2$ и домена слике, са слично индексираним циљем, ${\psi }_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}}(𝐬,x)$,$𝐬\in {𝕊}^2$,$x\in X$.

Дејство групе дифеоморфизама на шаблон дато је према

${\phi }_1\cdot \psi (x)\doteq (D{\phi }_1)\psi \circ {\phi }_1^{-1}(x),x\in X$,

где је $(D{\phi }_1)$ Јакобијан афино-трансформисаног ODF-а и дефинисан је као

$(D{\phi }_1)\psi \circ {\phi }_1^{-1}(x)=\sqrt{\frac{det(D_{{\phi }_1^{-1}}{\phi }_1{)}^{-1}}{{\Vert (D_{{\phi }_1^{-1}}{\phi }_1{)}^{-1}𝐬\Vert }^3}}\psi (\frac{(D_{{\phi }_1^{-1}}{\phi }_1{)}^{-1}𝐬}{\Vert (D_{{\phi }_1^{-1}}{\phi }_1{)}^{-1}𝐬\Vert },{\phi }_1^{-1}(x)).$

Ово дејство групе дифеоморфизама на ODF преоријентише ODF и одражава промене како у магнитуди $\psi$ тако и у правцима узорковања $𝐬$ услед афине трансформације. Оно гарантује да фракција запремине влакана оријентисаних ка малом делу мора остати иста након што је део трансформисан.

LDDMM варијациони проблем дефинисан је као

$C(v)=\underset{v:{\dot{\phi }}_t=v_t\circ {\phi }_t,{\phi }_0=\mathrm{i}\mathrm{d}}{inf}{\int }_0^1{\int }_{X}A{v}_t\cdot v_{t}dxdt+\lambda {\int }_{x\in \mathrm{\Omega }}\Vert {\log }_{(D{\phi }_1){\psi }_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}}\circ {\phi }_1^{-1}(x)}({\psi }_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}}(x)){\Vert }_{(D{\phi }_1){\psi }_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}}\circ {\phi }_1^{-1}(x)}^{2}dx.$

где је логаритам од ${\psi }_1,{\psi }_2\in \mathrm{\Psi }$ дефинисан као

$\Vert {\log }_{{\psi }_1}({\psi }_2){\Vert }_{{\psi }_1}={\cos }^{-1}⟨{\psi }_1,{\psi }_2⟩={\cos }^{-1}({\int }_{𝐬\in {𝕊}^2}{\psi }_1(𝐬){\psi }_2(𝐬)d𝐬),$

где је $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ нормалан скаларни производ између тачака у сфери под ${\mathrm{L}}^2$ метриком.

Овај алгоритам LDDMM-ODF мапирања широко је коришћен за проучавање дегенерације беле масе мозга током старења, код Алцхајмерове болести и васкуларне деменције. Атлас беле масе мозга генерисан на основу ODF конструише се путем Бајесове процене. Регресиона анализа на ODF је развијена у простору ODF многострукости у.

Метаморфоза

Демонстрација метаморфозе која омогућава како дифеоморфну промену координатне трансформације тако и промену интензитета слике као што је то било код раних технологија морфинга попут оних у видеу Мајкла Џексона. Приметите уметање нивоа сиве боје тумора који не постоји у шаблону.

Принципијелни начин варијације представљен орбиталним моделом је промена координата. За поставке у којима парови слика нису повезани дифеоморфизмима већ имају фотометријске варијације или варијације слике које нису представљене шаблоном, уведено је моделовање активним моделом изгледа, које су оригинално развили Едвардс, Кутс и Тејлор и у 3Д медицинском снимању у. У контексту рачунарске анатомије у којој су проучаване метрике на анатомској орбити, метаморфоза за моделовање структура као што су тумори и фотометријске промене које нису присутне у шаблону уведена је у за моделе слика магнетне резонанције, уз многе касније развоје који проширују оквир метаморфозе.

За упаривање слика оквир метаморфозе слике проширује дејство тако да $t\mapsto ({\phi }_t,I_t)$ са дејством ${\phi }_t\cdot I_t\doteq I_t\circ {\phi }_t^{-1}$. У овој поставци метаморфоза комбинује како дифеоморфну трансформацију координатног система рачунарске анатомије тако и ране технологије морфинга које су само бледеле или мењале фотометријски или интензитет слике.

Тада проблем упаривања поприма облик са граничним условима једнакости:

$\underset{(v,I)}{min}\frac{1}{2}{\int }_0^1({\int }_{X}A{v}_t\cdot v_{t}dx+\Vert {\dot{I}}_t\circ {\phi }_t^{-1}{\Vert }^2/{\sigma }^2)dt\text{ под условом да је}{\phi }_0=\mathrm{i}\mathrm{d},I_0=\text{фиксно},I_1=\text{фиксно}$

Упаривање оријентира, кривих и површина

Трансформисање координатних система на основу карактеристика оријентира или фидуцијалних маркера датира из Букштајновог раног рада на методама сплајнова малих деформација за интерполирање кореспонденција дефинисаних фидуцијалним тачкама у дводимензионалном или тродимензионалном позадинском простору у којем су фидуцијали дефинисани. Методе оријентира великих деформација појавиле су се касних 1990-их. Горња слика приказује серију оријентира повезаних са три структуре мозга: амигдалом, енториналним кортексом и хипокампусом.

Упаривање геометријских објеката попут необележених расподела тачака, кривих или површина је још један чест проблем у рачунарској анатомији. Чак и у дискретној поставци где су ови објекти обично дати као врхови са мрежама, не постоје унапред одређене кореспонденције између тачака, за разлику од ситуације са оријентирима описане изнад. Из теоријске перспективе, док било која подмногострукост $X$ у ${ℝ}^3$, $d=1,2,3$ може бити параметризована у локалним картама $m:u\in U\subset {ℝ}^{0,1,2,3}\to {ℝ}^3$, све репараметризације ових карата геометријски дају исту многострукост. Стога су, још у раној фази рачунарске анатомије, истраживачи идентификовали потребу за репрезентацијама које су инваријантне на параметризацију. Један неопходан услов је да члан упаривања крајње тачке између две подмногострукости буде сам по себи независан од њихових параметризација. Ово се може постићи путем концепата и метода позајмљених из геометријске теорије мера, посебно струја и варифолда који су екстензивно коришћени за упаривање кривих и површина.

Упаривање оријентира или тачака са кореспонденцијом

Илустрација геодезијског протока за један оријентир, демонстрирајући дифеоморфно кретање позадинског простора. Црвена стрелица показује $p_0(1)$, плава крива показује ${\phi }_t(x_1)$, црна мрежа показује ${\phi }_t$

Слика приказује упаривање оријентира са кореспонденцијом. Леви и десни панели приказују два различита језгра са решењима.

Ако означимо облик са оријентирима са $X\doteq \{x_1,\dots ,x_n\}\subset {ℝ}^3$ са крајњом тачком $E({\phi }_1)\doteq {\sum }_i\Vert {\phi }_1(x_i)-{x_i}^{\prime }{\Vert }^2$, варијациони проблем постаје

Шаблон:NumBlkГеодезијски Ојлеров момент је уопштена функција $A{v}_t\in V^{\ast },t\in [0,1]$, подржана на скупу са оријентирима у варијационом проблему. Услов крајње тачке са одржањем имплицира почетни момент у идентитету групе:

$\{\begin{array}{cc}\text{Услов крајње тачке: }& A{v}_1=\sum _{i=1}^n{p}_1(i){\delta }_{{\phi }_1(x_i)},p_1(i)=({x_i}^{\prime }-{\phi }_1(x_i)),\\ \text{Одржање: }& A{v}_t=\sum _{i=1}^n{p}_t(i){\delta }_{{\phi }_t(x_i)},p_t(i)=(D{\phi }_{t1}{)}_{|{\phi }_t(x_i)}^T{p}_1(i),{\phi }_{t1}\doteq {\phi }_1\circ {\phi }_t^{-1},\\ & A{v}_0=\sum _i{\delta }_{x_i}(\cdot )p_0(i)\text{ са }{p}_0(i)=(D{\phi }_1{)}_{|x_i}^T({x_i}^{\prime }-{\phi }_1(x_i))\end{array}$

Дат је итеративни алгоритам за дифеоморфно метричко мапирање великих деформација за оријентире.

Упаривање мера: нерегистровани оријентири

Глоне и сарадници су први увели дифеоморфно упаривање скупова тачака у општој поставци упаривања дистрибуција. За разлику од оријентира, ово посебно укључује ситуацију пондерисаних облака тачака без унапред дефинисаних кореспонденција и са могуће различитим кардиналностима. Дискретни облаци тачака шаблона и циља представљени су као две пондерисане суме Диракових функција ${\mu }_m=\sum _{i=1}^n{\rho }_i{\delta }_{x_i}$ и ${\mu }_{m^{\prime }}=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}{\rho }_{i^{\prime }}{\delta }_{x_{i^{\prime }}}$ које живе у простору мера са знаком од ${ℝ}^3$. Простор је опремљен Хилбертовом метриком добијеном из реалног позитивног језгра $k(x,y)$ на ${ℝ}^3$, дајући следећу норму:

$\Vert {\mu }_m{\Vert }_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}^2=\sum _{i,j=1}^n{\rho }_i{\rho }_{j}k(x_i,x_j)$

Проблем упаривања између облака тачака шаблона и циља тада може бити формулисан коришћењем ове метрике језгра за члан упаривања крајње тачке:

$\underset{\phi :v=\dot{\phi }\circ {\phi }^{-1}}{min}C(\phi )\doteq \frac{1}{2}\int (A{v}_t\mid v_t)dt+\frac{1}{2}\Vert {\mu }_{{\phi }_1\cdot m}-{\mu }_{m^{\prime }}{\Vert }_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}^2$

где је ${\mu }_{{\phi }_1\cdot m}=\sum _{i=1}^n{\rho }_i{\delta }_{{\phi }_1(x_i)}$ дистрибуција транспортована деформацијом.

Упаривање кривих

У једнодимензионалном случају, крива у 3Д може се представити улагањем $m:u\in [0,1]\to {ℝ}^3$, а дејство групе Diff постаје $\phi \cdot m=\phi \circ m$. Међутим, кореспонденција између кривих и улагања није узајамно једнозначна јер било која репараметризација $m\circ \gamma$, за $\gamma$ дифеоморфизам интервала [0,1], геометријски представља исту криву. Да би се очувала ова инваријантност у члану упаривања крајње тачке, може се размотрити неколико проширења претходног приступа упаривања 0-димензионалних мера.

• Упаривање кривих са струјама

У ситуацији оријентисаних кривих, струје дају ефикасну поставку за конструисање инваријантних чланова упаривања. У таквој репрезентацији, криве се интерпретирају као елементи функционалног простора дуалног простору векторских поља, и пореде се кроз норме језгара на овим просторима. Упаривање две криве $m$ и $m^{\prime }$ на крају се записује као варијациони проблем

$\underset{\phi :v=\dot{\phi }\circ {\phi }^{-1}}{min}C(\phi )\doteq \frac{1}{2}\int (A{v}_t\mid v_t)dt+\frac{1}{2}\Vert {𝒞}_{{\phi }_1\cdot m}-{𝒞}_{m^{\prime }}{\Vert }_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}^2$

са чланом крајње тачке $E({\phi }_1)=\Vert {𝒞}_{{\phi }_1\cdot m}-{𝒞}_{m^{\prime }}{\Vert }_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}^2/2$ добијеним из норме

$\Vert {𝒞}_m{\Vert }_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}^2={\int }_0^1{\int }_0^1{K}_C(m(u),m(v))\partial m(u)\cdot \partial m(v)dudv$

при чему је извод $\partial m(u)$ тангентни вектор на криву, а $K_{𝒞}$ дато матрично језгро простора ${ℝ}^3$. Овакви изрази су инваријантни на било које позитивне репараметризације од $m$ и $m^{\prime }$, и стога још увек зависе од оријентације две криве.

• Упаривање кривих са варифолдима

Варифолд је алтернатива струјама када оријентација постане проблем, као на пример у ситуацијама које укључују вишеструке снопове кривих за које се не може дефинисати "конзистентна" оријентација. Варифолди директно проширују 0-димензионалне мере додавањем додатног правца тангентног простора на позицију тачака, што доводи до представљања кривих као мера на производу простора ${ℝ}^3$ и Грасманијана свих правих линија у ${ℝ}^3$. Проблем упаривања између две криве тада се састоји у замени члана упаривања крајње тачке са $E({\phi }_1)=\Vert {𝒱}_{{\phi }_1\cdot m}-{𝒱}_{m^{\prime }}{\Vert }_{\text{cur}}^2/2$ нормама варифолда облика:

$\Vert {𝒱}_m{\Vert }_{var}^2={\int }_0^1{\int }_0^1{k}_{{ℝ}^3}(m(u),m(v))k_{𝐆𝐫}([\partial m(u)],[\partial m(v)])\partial m(u)|\partial m(v)|dudv$

где је $[\partial m(u)]$ неоријентисана линија усмерена тангентним вектором $\partial m(u)$, а $k_{{ℝ}^3},k_{𝐆𝐫}$ су два скаларна језгра респективно на ${ℝ}^3$ и Грасманијану. Због инхерентне неоријентисане природе Грасманијанове репрезентације, овакви изрази су инваријантни на позитивне и негативне репараметризације.

Упаривање површина

Упаривање површина дели многе сличности са случајем кривих. Површине у ${ℝ}^3$ су параметризоване у локалним картама улагањима $m:u\in U\subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3$, при чему су све репараметризације $m\circ \gamma$ са $\gamma$ као дифеоморфизмом од U геометријски еквивалентне. Струје и варифолди такође се могу користити за формализовање упаривања површина.

• Упаривање површина са струјама

Оријентисане површине се могу представити као 2-струје које су дуалне диференцијалним 2-формама. У ${ℝ}^3$, 2-форме се даље могу идентификовати са векторским пољима кроз стандардни спољашњи производ 3Д вектора. У тој поставци, упаривање површина се поново записује као:

$\underset{\phi :v=\dot{\phi }\circ {\phi }^{-1}}{min}C(\phi )\doteq \frac{1}{2}\int (A{v}_t\mid v_t)dt+\frac{1}{2}\Vert {𝒞}_{{\phi }_1\cdot m}-{𝒞}_{m^{\prime }}{\Vert }_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}^2$

са чланом крајње тачке $E({\phi }_1)=\Vert {𝒞}_{{\phi }_1\cdot m}-{𝒞}_{m^{\prime }}{\Vert }_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}^2/2$ датим кроз норму

$\Vert {𝒞}_m{\Vert }_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}^2={\iint }_{U\times U}{K}_C(m(u),m(v))\overrightarrow{n}(u)\cdot \overrightarrow{n}(v)dudv$

са $\overrightarrow{n}={\partial }_{u_1}m\wedge {\partial }_{u_2}m$ као нормалним вектором на површину параметризовану са $m$.

Овај алгоритам мапирања површина валидиран је за кортикалне површине мозга у односу на CARET и FreeSurfer. LDDMM мапирање за вишеразмерне површине (multiscale surfaces) разматрано је у.

• Упаривање површина са варифолдима

За неоријентабилне или неоријентисане површине, оквир варифолда је често адекватнији. Идентификујући параметарску површину $m$ са варифолдом ${𝒱}_m$ у простору мера на производу ${ℝ}^3$ и Грасманијана, просто замењујемо претходну норму струје $\Vert {𝒞}_m{\Vert }_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}^2$ са:

$\Vert {𝒱}_m{\Vert }_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}}^2={\iint }_{U\times U}{k}_{{ℝ}^3}(m(u),m(v))k_{𝐆𝐫}([\overrightarrow{n}(u)],[\overrightarrow{n}(v)])|\overrightarrow{n}(u)||\overrightarrow{n}(v)|dudv$

где је $[\overrightarrow{n}(u)]$ (неоријентисана) линија усмерена нормалним вектором на површину.

Раст и атрофија из лонгитудиналних временских серија

Постоје многе поставке у којима постоји серија мерења, временска серија на коју ће основни координатни системи бити упарени и пропуштени. Ово се дешава на пример у динамичким моделима раста и атрофије и праћењу кретања какви су истраживани у Дат је посматрани временски низ и циљ је да се изведе временски проток геометријске промене координата који носи примерке или шаблоне кроз период опсервација.

Генерички проблем упаривања временских серија разматра серију времена која је $0<t_1<\cdots <t_K=1$. Проток се оптимизује у серији трошкова $E(t_k),k=1,\dots ,K$ дајући проблеме оптимизације облика

$\underset{\phi :v=\dot{\phi }\circ {\phi }^{-1},{\phi }_0=id}{min}C(\phi )\doteq \frac{1}{2}{\int }_0^1(A{v}_t\mid v_t)dt+\sum _{k=1}^{K}E({\phi }_{t_k})$.

До сада су понуђена најмање три решења: по деловима геодезијско, принципално геодезијско и сплајнови.

Модел случајне орбите у рачунарској анатомији

Орбите мозгова повезане са дејством дифеоморфне групе на шаблоне приказане преко глатког протока повезаног са геодезијским протоцима са случајним спрејом повезаним са случајним генерисањем векторског поља почетног тангентног простора $v_0\in V$; објављено у.

Модел случајне орбите рачунарске анатомије први пут се појавио у моделујући промену координата повезану са случајношћу групе која делује на шаблоне, што индукује случајност на извору слика у анатомској орбити облика и форми и резултујућих опсервација кроз уређаје за медицинско снимање. Овакав модел случајне орбите у којем случајност на групи индукује случајност на сликама испитиван је за Специјалну Еуклидску групу за препознавање објеката у.

На слици је приказана репрезентација случајних орбита око сваког примерка, $m_0\in ℳ$, генерисаних рандомизацијом протока генерисањем почетног векторског поља тангентног простора у идентитету $v_0\in V$, а затим генерисањем случајног објекта $n\doteq {\mathrm{Exp}}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(v_0)\cdot m_0\in ℳ$.

Модел случајне орбите индукује приор на облицима и сликама $I\in ℐ$ условљен одређеним атласом $I_a\in ℐ$. За ово, генеративни модел генерише средње поље $I$ као случајну промену координата шаблона према $I\doteq \phi \cdot I_a$, где се дифеоморфна промена координата генерише насумично преко геодезијских протока. Приор на случајним трансформацијама ${\pi }_{\text{Diff}}(d\phi )$ на ${\mathrm{Diff}}_V$ је индукован протоком ${\mathrm{Exp}}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(v)$, при чему је $v\in V$ конструисано као Гаусово случајно поље приора ${\pi }_V(dv)$. Густина на случајним опсерваблама на излазу сензора $I^D\in {ℐ}^D$ дата је са

Слика приказује случајни спреј синтетисаних субкортикалних структура распоређених у дводимензионалној мрежи која представља варијансу сопствене функције која се користи за момент за синтезу.

$p(I^D\mid I_a)={\int }_{V}p(I^D\mid {\mathrm{Exp}}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(v)\cdot I_a){\pi }_V(dv).$

Слика десно приказује орбиту као случајни спреј субкортикалних многострукости генерисаних рандомизацијом векторских поља $v_0$ подржаних преко подмногострукости.

Бајесов модел у рачунарској анатомији

Модел извор-канал који приказује извор слика деформабилног шаблона $I\doteq \phi \cdot I_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}}\in ℐ$ и излаз канала повезан са МРИ сензором $I^D\in {ℐ}^{𝒟}$

Централни статистички модел рачунарске анатомије у контексту медицинског снимања био је модел извор-канал Шенонове теорије; извор је деформабилни шаблон слика $I\in ℐ$, излази канала су сензори за снимање са опсерваблама $I^D\in {ℐ}^{𝒟}$ (видите слику).

Погледајте Бајесова процена шаблона у рачунарској анатомији за дискусије о (i) МАП процени са вишеструким атласима, (ii) МАП сегментацији са вишеструким атласима, МАП процени шаблона из популација.

Статистичка теорија облика у рачунарској анатомији

Облик у рачунарској анатомији је локална теорија, која индексира облике и структуре на шаблоне на које се бијективно мапирају. Статистички облик у рачунарској анатомији је емпиријско проучавање дифеоморфних кореспонденција између популација и заједничких координатних система шаблона. Ово је снажно одступање од Прокрустових анализа и теорија облика које је покренуо Дејвид Џ. Кендал у смислу да су централна група Кендалових теорија коначнодимензионалне Лијеве групе, док су се теорије облика у рачунарској анатомији фокусирале на групу дифеоморфизама, која се до првог реда преко Јакобијана може посматрати као поље – дакле бесконачно димензионално – нискодимензионалних Лијевих група скалирања и ротација.

Слика приказује стотине субкортикалних структура уграђених у дводимензионални простор момента генерисан из прва два сопствена вектора емпиријске коваријансе процењене из популације облика.

Модел случајне орбите пружа природну поставку за разумевање емпиријског облика и статистике облика унутар рачунарске анатомије јер је нелинеарност индукованог закона вероватноће на анатомским облицима и формама $m\in ℳ$ индукована преко редукције на векторска поља $v_0\in V$ у тангентном простору у идентитету групе дифеоморфизама. Узастопни проток Ојлерове једначине индукује случајни простор облика и форми ${\mathrm{Exp}}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}(v_0)\cdot m\in ℳ$.

Извођење емпиријске статистике на овом тангентном простору у идентитету је природан начин за индуковање закона вероватноће на статистици облика. Пошто су и векторска поља и Ојлеров момент $A{v}_0$ у Хилбертовом простору, природан модел је модел Гаусовог случајног поља, тако да су, с обзиром на пробну функцију $w\in V$, скаларни производи са пробним функцијама Гаусово расподељени са средњом вредношћу и коваријансом.

Ово је приказано на приложеној слици где су субкортикалне структуре мозга приказане у дводимензионалном координатном систему заснованом на унутрашњим производима њихових почетних векторских поља која их генеришу из шаблона који је приказан у 2-димензионалном распону Хилбертовог простора.

Процена шаблона из популација

Приказ процене шаблона из више субкортикалних површина у популацијама МРИ слика коришћењем ЕМ-алгоритма решења које је дао Ма.

Проучавање облика и статистике у популацијама су локалне теорије, које индексирају облике и структуре на шаблоне на које се бијективно мапирају. Статистички облик је тада проучавање дифеоморфних кореспонденција у односу на шаблон. Основна операција је генерисање шаблона из популација, процењујући облик који се подудара са популацијом. Постоји неколико важних метода за генерисање шаблона, укључујући методе базиране на Фрешеовом усредњавању, и статистичке приступе базиране на алгоритму максимизације очекивања и Бајесовим моделима случајне орбите рачунарске анатомије. На приложеној слици приказана је реконструкција субкортикалног шаблона из популације субјеката са МРИ.

Софтвер за дифеоморфно мапирање

Софтверски пакети који садрже различите алгоритме за дифеоморфно мапирање укључују следеће:

• ANTS
• DARTEL Воксел-базирана морфометрија
• DEFORMETRICA
• DEMONS
• LDDMM Дифеоморфно метричко мапирање великих деформација
• LDDMM заснован на језгру базираном на оквирима
• StationaryLDDMM

Cloud софтвер

• MRICloud

Види још

• Бајесова процена шаблона у рачунарској анатомији
• Рачунарска неуроанатомија
• Геометријска анализа података
• Дифеоморфно метричко мапирање великих деформација
• Прокрустова анализа
• Риманова метрика и Лијева заграда у рачунарској анатомији
• Анализа облика (вишезначна одредница)
• Статистичка анализа облика