Параболични цилиндрични координатни систем

Параболични цилиндрични координатни систем је тродимензионални координатни систем. Настаје пројекцијом дводимензионалнога параболичкога координатнога система у смеру $z$-оси. Координатне површи су због тога конфокални параболички цилиндри.

Дефиниција

Параболичке цилиндричне координате $(\sigma ,\tau ,z)$ дефинишу се помоћу картезијевих координата као:

$x=\sigma \tau$

$y=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$

$z=z$

Површи константнога $\sigma$ обликују конфокалне параболичне цилиндре:

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

које су отворене нагоре. С друге стране површи константнога $\tau$ обликују конфокалне параболичне цилиндре:

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

који су отворени у супротном смеру. Полумер r има једноставну формулу:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}({\sigma }^2+{\tau }^2)$

која је корисна за решавање Хамилтон-Јакобијеве једначине у параболичким координатама.

Ламеови кооефицијенти

Ламеови кооефицијенти за параболичке цилиндричке координате $\sigma$ и $\tau$ су:

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$

$h_z=1$.

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=h_{\sigma }{h}_{\tau }{h}_z=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau dz$

а Лапласијан је дан са:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2})+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}$

Параболични цилиндрични хармоници

Лапласова једначина у параболичном цилиндричном систему може да се реши сепарацијом варијабли, па се решење Лапласове једначине може претпоставити као:

$V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)$

а Лапласова једначина се након дељења са V пише као:

$\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}]+\frac{\ddot{Z}}{Z}=0$

Пошто је део по Z  даде сепарирати онда можемо да пишемо:

$\frac{\ddot{Z}}{Z}=-m^2$

Други део може да се напише као:

$[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}]=m^2({\sigma }^2+{\tau }^2)$

Тај део опет може да се сепарира на два дела односно на:

$\ddot{S}-(m^2{\sigma }^2+n^2)S=0$

$\ddot{T}-(m^2{\tau }^2-n^2)T=0$

Решења те три различите сепариране једначине је:

$Z_m(z)=A_1{e}^{imz}+A_2{e}^{-imz}$

$S_{mn}(\sigma )=A_3{y}_1(n^2/2m,\sigma \sqrt{2m})+A_4{y}_2(n^2/2m,\sigma \sqrt{2m})$

$T_{mn}(\tau )=A_5{y}_1(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m})+A_6{y}_2(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m})$

Решења друге и треће једначине представљају параболичке цилиндричне функције. Коначно решење је облика:

$V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}{A}_{mn}{S}_{mn}{T}_{mn}{Z}_m$

Литература

• Параболичне цилиндричне координате
• -{Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.}-
• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:ISBN.}-
• -{Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. Шаблон:ISBN}-