Параболичке координате

Параболички координатни систем у две димензије има координатне линије представљене конфокалним параболама. У три димензије параболичке координате се добијају ротирањем дводимензионалнога система око оси симетрије парабола.

Дводимензионалне параболичке координате

У дводимензионалном систему параболичке координате $(\sigma ,\tau )$ одређене су са:

$x=\sigma \tau ,$

$y=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2).$

Криве константнога $\sigma$ обликују конфокалне параболе:

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

које су отворене нагоре. С друге стране криве константнога $\tau$ обликују конфокалне параболе:

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

које су отворене надоле. Фолуси обе параболе су у исходишту.

Ламеови коефицијенти

Ламеови коефицијенти параболичких координата су:

$H_{\sigma }=H_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}.$

Елементи површине су:

$dS=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau ,$

а Лапласијан је:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2}).$

Тродимензионалне параболичке координате

Постоје два облика тродимензионалних параболичких координата. Према једној верзији параболе се ротирају око своје оси симетрије, па је трансформација координата:

$x=\sigma \tau \cos \phi$

$y=\sigma \tau \sin \phi$

$z=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$

Ос параболопоида слаже се са $z$ оси, а азимутални угао $\varphi$ је дефинисан као:

$\tan \phi =\frac{y}{x}$

Површи константнога $\sigma$ чине конфокалне параболоиде:

$2z=\frac{x^2+y^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

који су отворени нагоре. Површи константнога $\tau$ чине конфокалне параболоиде:

$2z=-\frac{x^2+y^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

који су отворени надоле. Риманов метрички тензор тога координатнога система је:

$g_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }^2+{\tau }^2& 0& 0\\ 0& {\sigma }^2+{\tau }^2& 0\\ 0& 0& {\sigma }^2{\tau }^2\end{array}\right]$

Ламеови коефицијенти

Ламеови коефицијенти параболичких координата у тродимензионалном простору су:

$H_{\sigma }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2},$

$H_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2},$

$H_{\phi }=\sigma \tau .$

Инфинитезимална запремина је онда дана са:

$dV=h_{\sigma }{h}_{\tau }{h}_{\phi }=\sigma \tau ({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau d\phi ,$

а Лапласијан је

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{1}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\tau \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)]+\frac{1}{{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\phi }^2}.$

Друга верзија тродимензионалних параболичких координата

$\{\begin{array}{c}x=\sqrt{\xi \eta }\cos \phi ,\\ y=\sqrt{\xi \eta }\sin \phi ,\\ z=\frac{1}{2}(\xi -\eta ).\end{array}$

Ламеови коефицијенти су онда:

$\begin{array}{c}{H}_{\xi }=\frac{\sqrt{\xi +\eta }}{2\sqrt{\xi }}\\ H_{\eta }=\frac{\sqrt{\xi +\eta }}{2\sqrt{\eta }}\\ H_{\phi }=\sqrt{\eta \xi }\end{array}$.

Инфинитезимална запремина је онда дана са:

$dV=\frac{\xi +\eta }{4}d\xi d\eta d\phi ,$

а Лапласијан је

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{4}{\xi +\eta }[\frac{\partial }{\partial \xi }\left(\xi \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \xi }\right)+\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\eta \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \eta }\right)]+\frac{1}{\xi \eta }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\phi }^2}.$

Литература

• Параболичке координате
• -{Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.}-
• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:Page}-
• -{Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. Шаблон:Page}-

Види још

• Правоугли координатни систем
• Сферни координатни систем
• Елиптични координатни систем