Логаритамске једначине

У математици постоје неколико логаритамских једначина.

Алгебарске једначине

Коришћење једноставнијих операција

Људи користе логаритме да би упростили рачун. На пример, два броја могу бити помножена само користећи таблицу логаритама и сабирање.

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	због	$b^m\cdot b^n=b^{m+n}$
${\log }_b\left(\begin{array}{c}\frac{x}{y}\end{array}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	због	$\begin{array}{c}\frac{b^m}{b^n}\end{array}=b^{m-n}$
${\log }_b(x^y)=y{\log }_b(x)$	због	$(b^n{)}^y=b^{ny}$
${\log }_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\begin{array}{c}\frac{{\log }_b(x)}{y}\end{array}$	због	$\sqrt[y]{x}=x^{1/y}$

Укидање експонената

Логаритми и експоненти (антилогаритми) са истом основом се поништавају.

$b^{{\log }_b(x)}=x$	због	${\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(x))=x$
${\log }_b(b^x)=x$	због	${\log }_b({\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(x))=x$

Промена основе

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Ова једначина се користи за израчунавање логаритама на електронским калкулаторима. На пример, већина калкулатора има дугмад за -{ln}- и за -{log}-₁₀, али не и за -{log}-₂. Да бисмо нашли -{log}-₂(3), треба израчунати -{log}-₁₀(3) / -{log}-₁₀(2) (или -{ln}-(3)/-{ln}-(2), што је заправо иста ствар).

Из ове формуле произилази неколико ствари:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$

Тривијалне једначине

${\log }_b(1)=0$	због	$b^0=1$
${\log }_b(b)=1$	због	$b^1=b$

Једначине математичке анализе

Лимеси

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{if }a>1$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{if }a<1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{if }a>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{if }a<1$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^b{\log }_{a}x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^b}{\log }_{a}x=0$

Последњи лимес се често схвата као „логаритам расте спорије од било ког степена или корена x".

Извод логаритамске функције

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln e},x>0$

$\frac{d}{dx}{\log }_{b}x=\frac{1}{x\ln b},b>0,b\ne 1$

Интеграл логаритамске функције

$\int {\log }_{a}xdx=x({\log }_{a}x-{\log }_{a}e)+C$

што се за -{а}-=-{е}- своди на

$\int \ln xdx=x(\ln x-1)+C$

Неједнакости

$\frac{x}{1+x}\le \log (1+x)\le x\text{ за све }-1<x$

$\frac{2x}{2+x}\le \frac{x}{\sqrt{1+x+x^2/12}}\le \log (1+x)\le \frac{x}{\sqrt{1+x}}\le \frac{x}{2}\frac{2+x}{1+x}\text{ за }0\le x\text{, обрнуто за }-1<x\le 0$

Обе неједнакости су прилично оштре око -{x=0}-, али не и за велико -{x}-.

Спољашње везе

• Шаблон:MathWorld
• Логаритам на сајту www.mathwords.com