Д'Аламберов оператор

Д'Аламберов оператор је диференцијални оператор другог реда. Д'Аламберов оператор је у ствари Лапласов оператор у простору Минковског - -{(t, x, y, z)}-. Назван је по француском математичару Жан ле Рон д'Аламберу.

Оператор се често користи у физици електромагнетског поља - таласна једначина светла. Ознака за д'Аламберов оператор је квадрат : $◻$ .

Оператор сачињава Лапласов оператор ( $Δ$ ) и двоструки извод по времену :

◻ = Δ - \frac{\partial^{2}}{c^{2} \partial t^{2}}

Ајнштајнов запис

У теорији релативности, користи се запис са Ајнштајновим индексима.

\partial_{μ} = (\partial_{c t}, \nabla) = (\partial_{c t}, \partial_{x}, \partial_{y}, \partial_{z})

.

где је коваријантни запис,

\partial^{μ} = η^{μ ν} \partial_{ν} = (\partial_{c t}, - \partial_{x}, - \partial_{y}, - \partial_{z})

Производ је дефинисан као д'Аламберов оператор.

◻ := \partial^{μ} \partial_{μ} = \frac{\partial^{2}}{c^{2} \partial t^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} = \frac{\partial^{2}}{c^{2} \partial t^{2}} - Δ

Д'Аламберов оператор у сферним координатама:

\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} Θ} \frac{\partial}{\partial Θ} (\sin Θ \frac{\partial u}{\partial Θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} Θ} \frac{\partial^{2} u}{\partial φ^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}};

\frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ^{2} \frac{\partial u}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial φ^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}};

У општим криволинијским координатама:

◻ u \equiv \frac{1}{\sqrt{- g}} \frac{\partial}{\partial x^{ν}} (\sqrt{- g} g^{μ ν} \frac{\partial u}{\partial x^{μ}}),

где је $g_{μ ν}$ метрички тензор, а g је детерминанта тога тензора. Шаблон:Подножје