Конјунктивна нормална форма

У буловској логици, формула је у конјунктивној нормалној форми (КНФ) ако представља конјункцију клауза, где је клауза дисјункција литерала. Као нормална форма, корисна је у аутоматском доказивању теорема.

Све конјункције литерала и све дисјункције литерала су у КНФ, јер се могу посматрати као конјункције једночланих литерала, или као дисјункције једне клаузе, редом. Као и код дисјунктивне нормалне форме (ДНФ), једини исказни везници које формула у КНФ може да садржи су И, ИЛИ, и НЕ. Оператор негације може да се користи само као део литерала, што значи да може да стоји само пре исказне променљиве.

Примери и контрапримери

Следеће формуле су у КНФ:

$\mathrm{\neg }A\wedge (B\vee C)$

$(A\vee B)\wedge (\mathrm{\neg }B\vee C\vee \mathrm{\neg }D)\wedge (D\vee \mathrm{\neg }E)$

$(\mathrm{\neg }B\vee C)$

$(A\vee B).$

Последња формула је у КНФ, јер се може посматрати као конјункција две једночлане клаузе $A$ и $B$. Међутим, ова формула је и у дисјунктивној нормалној форми. Следеће формуле нису у КНФ:

$\mathrm{\neg }(B\vee C)$

$(A\wedge B)\vee C$

$A\wedge (B\vee (D\wedge E)).$

Горње три формуле су редом еквивалентне следећим трима формулама које јесу у конјунктивној нормалној форми:

$\mathrm{\neg }B\wedge \mathrm{\neg }C$

$(A\vee C)\wedge (B\vee C)$

$A\wedge (B\vee D)\wedge (B\vee E).$

Конверзија у КНФ

Свака исказна формула се може трансформисати у логички еквивалентну формулу, која је у КНФ. Ова трансформација користи правила логичке еквиваленције: елиминацију двоструке негације, Де Морганове законе, и закон дистрибутивности.

Како се све логичке формуле могу трансформисати у еквивалентне формуле у КНФ, докази се обично базирају на претпоставци да су све формуле у КНФ. Међутим, у неким случајевима, ова конверзија у КНФ може да доведе до експоненцијалне експлозије (раста дужине) формуле. На пример, трансформисање следеће формуле у КНФ производи формулу са $2^n$ клауза:

$(X_1\wedge Y_1)\vee (X_2\wedge Y_2)\vee \dots \vee (X_n\wedge Y_n).$

Добија се формула:

$(X_1\vee \cdots \vee X_{n-1}\vee X_n)\wedge (X_1\vee \cdots \vee X_{n-1}\vee Y_n)\wedge \cdots \wedge (Y_1\vee \cdots \vee Y_{n-1}\vee Y_n)$

то јест, ова формула садржи $2^n$ клауза: у свакој клаузи се налази било $X_i$ или $Y_i$ за свако $i$.

Постоје трансформације формула у КНФ које чувају задовољивост али не и еквиваленцију, али и не производе експоненцијални раст формула. За ове трансформације се гарантује да формуле повећавају само линеарно, али уводе нове променљиве. На пример, горња гормула се може трансформисати у КНФ додавањем променљивих $Z_1,\dots ,Z_n$ на следећи начин:

$(Z_1\vee \cdots \vee Z_n)\wedge (\mathrm{\neg }{Z}_1\vee X_1)\wedge (\mathrm{\neg }{Z}_1\vee Y_1)\wedge \cdots \wedge (\mathrm{\neg }{Z}_n\vee X_n)\wedge (\mathrm{\neg }{Z}_n\vee Y_n)$

Нека интерпретација задовољава ову формулу само ако барем једна од нових променљивих има вредност тачно. Ако је то променљива $Z_i$, онда такође $X_i$ и $Y_i$ имају вредност тачно. Ово значи да сваки модел који задовољава добијену формулу задовољава и почетну. Са друге стране, само неки модели оригиналне формуле задовољавају ову нову, јер се $Z_i$ не спомиње у почетној формули, па њихове вредности нису од значаја за њу, док јесу за нову формулу. Ово значи да су почетна формула и резултат трансформације еквизадовољиви, али не и еквивалентни.

Логика првог реда

У логици првог реда, конјунктивна нормална форма се може трансформисати даље у клаузалну нормалну форму, која је од користи за метод резолуције.

Рачунска сложеност

Важан скуп проблема у рачунској сложености подразумева налажење таквих додела променљивима буловске формуле у конјунктивној нормалној форми, да формула има вредност тачно. -{k}--САТ проблем је проблем налажења задовољавајуће доделе буловској формули исказаној у КНФ, тако да свака дисјункција садржи највише -{k}- променљивих. 3-САТ је НП-комплетан проблем (као и сваки други -{k}--САТ, где је -{k}->2) осим 2-САТ, за кога је познато решење у полиномијалном времену.

Трансформисање из логике првог реда

Трансформисање формуле предикатског рачуна у КНФ подразумева следеће кораке:

1. Трансформисање у негацијску нормалну форму. Елиминишу се импликације: $x\to y$ се замени са $\mathrm{\neg }x\vee y$
2. Негације се увуку унутар заграда
3. Стандардизују се променљиве
4. Сколемизује се исказ
5. Елиминишу се универзални квантификатори
6. Примени се дистрибутивност на дисјункције и конјункције.

Види још

• Канонска нормална форма
• Дисјунктивна нормална форма
• Алгебарска нормална форма
• Пренекс нормална форма
• Хорнова клауза

Спољашње везе

• -{Scheme}- и -{Ocaml}- програми за конвертовање исказних формула у КНФ