Компланарност

У геометрији, компланарност је особина скупа тачака да се налазе у истој равни. Три тачке су увек компланарне а, ако нису колинеарне, такође једнозначно дефинишу и раван у којој се налазе. Додавањем четврте тачке скупу од три неколинеарне тачке долази се у ситуацију када она мора да задовољава одређене услове да би све четири тачке биле компланарне.

Начини утврђивања

Узимају се четири различите и неколинеарне тачке -{A}-, -{B}-, -{C}- и -{D}-. Ако су најмање две од четири тачке колинеарне, такође су и компланарне. Ако има више од четири тачке, увек се могу изабрати три сталне и онда од осталих узимати једна по једна и тестирати на компланарност с њима.

Притом ће стање компланарности означавати исказ да тачке -{A}-, -{B}-, -{C}- и -{D}- припадају равни α, коју формирају тачке -{A}-, -{B}- и -{C}-:

$A,B,C,D\in \alpha (A,B,C)$

Линеарна зависност

Ако су четири тачке компланарне, вектори који се њима могу формирати морају бити линеарно зависни. Другим речима, ово би значило да вектор $\overrightarrow{AD}$ може да се изрази као линеарна комбинација вектора $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AD}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC},\alpha ,\beta \in R$

Ово исто важи и за друге комбинације, тј. $\overrightarrow{AB}$ се може изразити као линеарна комбинација $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$, а $\overrightarrow{AC}$ се може изразити као линеарна комбинација $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$.

Преко запремине дефинисаног паралелопипеда

Четири тачке одређују три вектора, што је довољно да би се њима дефинисао један паралелопипед. Ако би све ове тачке лежале у једној равни, то би значило да је његова висина једнака нули. Даља импликација ове особине би била да је и запремина тог паралелопипеда једнака нули. Из тога произилази да су тачке компланарне ако је запремина овако одређеног паралелопипеда једнака нули.

У тродимензионом простору можемо се користити мешовитим производом, који је еквивалент запремине:

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=0\iff (\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})\overrightarrow{AD}=0\iff A,B,C,D\in \alpha (A,B,C)$

Та зависност се такође може изразити кроз услов вредности детерминанте:

$\left|\begin{array}{cccc}{A}_x& A_y& A_z& 1\\ B_x& B_y& B_z& 1\\ C_x& C_y& C_z& 1\\ D_x& D_y& D_z& 1\end{array}\right|=0\iff A,B,C,D\in \alpha (A,B,C)$

То се такође може изразити кроз услов за детерминанту вектора које образују ове тачке:

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|=0\iff A,B,C,D\in \alpha (A,B,C)$

При чему су употребљени вектори:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AD}$