Коваријантан извод

Паралелни транспорт на сфери

Коваријантан извод у диференцијалној геометрији представља генерализацију општега извода за тензорска поља и векторе у криволинијским координатним системима. Коваријантни извод тензорскога поља $T$ у смеру тангентнога вектора $𝐯$ означава се ${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}T$. Означава се на више различитих начина ${\mathrm{\nabla }}_{\ell }{A}^{ik}=A^{ik}{}_{;\ell }=D_{\ell }{A}^{ik}.$ За вектор коваријантни извод је дан са следећом формулом:

$D_{\ell }{A}^i=(\frac{\partial A^i}{\partial x^{\ell }}+{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{k\ell }{A}^k)$

Паралелни транспорт

Коваријантни и обични извод не разликују се за скаларне функције, али разликује се за векторе и тензоре. За уобичајен Декартов координатни систем добро је дефинисано одузимање вектора, који се налазе у различитим тачкама простора. Два вектора се одузму тако да се један од њих транслатује до другога и онда се се изврши одузимање. За криволинијске координате паралени транспорт или транслација вектора изводи се тако да се вектор транслатује до другога вектора, али пошто у криволинијским координатама транслација није иста као у равном координатном систему појављује се разлика приликом транслације у два различита система.

Извод формуле

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога.

Нека у $x^i$ вектор има вредност $A^i,$ а у некој тачки $x^i+d{x}^i$ вредност $A^i+d{A}^i.$ Ако вектор $A^i$ транспортујемо до $x^i+d{x}^i$ он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за $\delta A^i.$ Укупна разлика два вектора постаје онда:

$D{A}^i=d{A}^i-\delta A^i$

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

$\delta A^i=-{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{k\ell }{A}^{k}d{x}^l.$

Пошто је $d{A}^i=\frac{\partial A^i}{\partial x^{\ell }}d{x}^l$ добија се:

$D{A}^i=(\frac{\partial A^i}{\partial x^{\ell }}+{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{k\ell }{A}^k)d{x}^l$

односно

$D_{\ell }{A}^i=(\frac{\partial A^i}{\partial x^{\ell }}+{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{k\ell }{A}^k)$

Коваријантни извод за тензоре

Постоји више различитих ознака за коваријантан извод: нпр:

${\mathrm{\nabla }}_{\ell }{A}^{ik}=A^{ik}{}_{;\ell }=D_{\ell }{A}^{ik}$

Коваријантни извод векторскога поља је:

${\mathrm{\nabla }}_{\ell }{V}^m=\frac{\partial V^m}{\partial x^{\ell }}+{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{k\ell }{V}^k.$

Уколико се ради о систему, који нема закривљене координате или ако су Христофелови коефицијенти једнаки нули онда се коваријантан извод за векторе не разликује од обичнога извода.

Коваријантни извод скаларнога поља једнак је обичном изводу:

$D_{\mu }\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x^{\mu }}.$

а коваријантни извод ковекторскога поља ${\omega }_m$ је

${\mathrm{\nabla }}_{\ell }{\omega }_m=\frac{\partial {\omega }_m}{\partial x^{\ell }}-{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{\ell m}{\omega }_k.$

Коваријантни извод тензорскога поља $A^{ik}$ је

${\mathrm{\nabla }}_{\ell }{A}^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^{\ell }}+{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{m\ell }{A}^{mk}+{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{m\ell }{A}^{im},$

тј.

$A^{ik}{}_{;\ell }=A^{ik}{}_{,\ell }+A^{mk}{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{m\ell }+A^{im}{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{m\ell }.$

За мешано тензорско поље имамо:

$A^i{}_{k;\ell }=A^i{}_{k,\ell }+A^m{}_k{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{m\ell }-A^i{}_m{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{k\ell },$

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

$A_{ik;\ell }=A_{ik,\ell }-A_{mk}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{i\ell }-A_{im}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{k\ell }.$

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:

${\mathrm{\nabla }}_k{v}_{j_1\cdots j_m}^{i_1\cdots i_n}=\frac{\partial }{\partial x^k}{v}_{j_1\cdots j_m}^{i_1\cdots i_n}+\sum _{\alpha =1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{k\ell }^{i_{\alpha }}{v}_{j_1\cdots j_m}^{i_1\cdots i_{\alpha -1}\ell i_{\alpha +1}\cdots i_n}-\sum _{\alpha =1}^m{\mathrm{\Gamma }}_{k{i}_{\alpha }}^{\ell }{v}_{j_1\cdots j_{\alpha -1}\ell j_{\alpha +1}\cdots j_m}^{i_1\cdots i_n}$

Литература

• Коваријантан извод
• -{Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. Шаблон:Page}-
• -{Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall}-