Квантни Холов ефекат

Шаблон:Физика кондензованог стања Квантни Холов ефекат (или целобројни квантни Холов ефекат) је квантизована верзија Холовог ефекта која се посматра у дводимензионалним електронским системима изложеним ниским температурама и јаким магнетним пољима, у којима Холова отпорност Шаблон:Math показује кораке који попримају квантизоване вредности

$R_{xy}=\frac{V_{\text{Hall}}}{I_{\text{channel}}}=\frac{h}{e^2\nu },$

где је Шаблон:Math Холов напон, Шаблон:Math је струја канала, Шаблон:Math је елементарни набој, а Шаблон:Math је Планкова константа. Делитељ Шаблон:Math може имати или целобројне (Шаблон:Math) или фракционе (Шаблон:Math) вредности. Овде је Шаблон:Math приближно, али не и тачно, једнако фактору попуне Ландауових нивоа. Квантни Холов ефекат се назива целобројним или фракционим у зависности од тога да ли је Шаблон:Math цео број или разломак.

Изразита карактеристика целобројног квантног Холовог ефекта је постојаност квантизације (тј. Холовог платоа) како се густина електрона мења. Пошто густина електрона остаје константна када је Фермијев ниво у чистом спектралном процепу, ова ситуација одговара оној где је Фермијев ниво енергија са коначном густином стања, иако су та стања локализована (видети Андерсонова локализација).

Фракциони квантни Холов ефекат је компликованији и још увек се сматра отвореним истраживачким проблемом. Његово постојање се суштински ослања на интеракције електрон-електрон. Године 1988, предложено је постојање квантног Холовог ефекта без Ландауових нивоа. Овај квантни Холов ефекат се назива квантни аномални Холов (QAH) ефекат. Постоји и нови концепт квантног спинског Холовог ефекта, који је аналоган квантном Холовом ефекту, где уместо струја наелектрисања теку спинске струје.

Примене

Стандарди електричног отпора

Квантизација Холове проводљивости ($G_{xy}=1/R_{xy}$) има важну особину да је изузетно прецизна. Утврђено је да су стварна мерења Холове проводљивости целобројни или фракциони вишекратници Шаблон:Math са прецизношћу бољом од једног дела у милијарди. Ово је омогућило дефинисање новог практичног стандарда за електрични отпор, заснованог на кванту отпора датом фон Клицинговом константом Шаблон:Math. Названа је по Клаусу фон Клицингу, откривачу тачне квантизације. Квантни Холов ефекат такође пружа изузетно прецизно независно одређивање константе фине структуре, величине од фундаменталног значаја у квантној електродинамици.

Шаблон:AnchorГодине 1990, дефинисана је фиксна конвенционална вредност Шаблон:Math за употребу у калибрацијама отпора широм света.Шаблон:Physconst Касније, ревизијом СИ из 2019. утврђене су тачне вредности Шаблон:Math и Шаблон:Math, што је резултирало тачном вредношћу Шаблон:Math.

Статус истраживања

Фракциони квантни Холов ефекат се сматра делом „тачне квантизације”. Тачна квантизација у пуној општости није у потпуности схваћена, али је објашњена као врло суптилна манифестација комбинације принципа гејџ инваријантности заједно са другом симетријом (видети Аномалије). Целобројни квантни Холов ефекат се, с друге стране, сматра решеним истраживачким проблемом и схваћен је у оквиру ТКНН формуле и Черн-Сајмонсових лагранжијана.

Фракциони квантни Холов ефекат се и даље сматра отвореним истраживачким проблемом. Фракциони квантни Холов ефекат се такође може разумети као целобројни квантни Холов ефекат, али не електрона, већ композита наелектрисања и флукса познатих као композитни фермиони. Постоје и други модели за објашњење фракционог квантног Холовог ефекта. Тренутно се сматра отвореним истраживачким проблемом јер не постоји јединствена, потврђена и усаглашена листа фракционих квантних бројева, нити један усаглашен модел који би их све објаснио, иако постоје такве тврдње у оквиру композитних фермиона и неабеловске Черн-Сајмонсове теорије.

Историја

MOSFET (метал-оксид-полупроводнички транзистор са ефектом поља), који су изумели Мухамед Атала и Давон Канг у Беловим лабораторијама 1959. године, омогућио је физичарима да проучавају понашање електрона у готово идеалном дводимензионалном гасу. У MOSFET-у, проводни електрони путују у танком површинском слоју, а напон на „гејту” контролише број носилаца наелектрисања у овом слоју. Ово омогућава истраживачима да истражују квантне ефекте радећи са MOSFET-овима високе чистоће на температурама течног хелијума.

Целобројну квантизацију Холове проводљивости првобитно су предвидели истраживачи са Универзитета у Токију, Цунеја Андо, Јукио Мацумото и Јасутада Уемура 1975. године, на основу приближног прорачуна за који ни сами нису веровали да је тачан. Године 1978, истраживачи са Универзитета Гакушуин, Џун-ичи Вакабајаши и Шинџи Каваџи, касније су посматрали ефекат у експериментима спроведеним на инверзионом слоју MOSFET-ова.

Године 1980, Клаус фон Клицинг, радећи у лабораторији за јака магнетна поља у Греноблу са узорцима MOSFET-а на бази силицијума које су развили Мајкл Пепер и Герхард Дорда, дошао је до неочекиваног открића да је Холов отпор тачно квантизован. За ово откриће, фон Клицингу је додељена Нобелова награда за физику 1985. године. Везу између тачне квантизације и гејџ инваријантности касније је предложио Роберт Б. Лафлин, који је повезао квантизовану проводљивост са квантизованим транспортом наелектрисања у Таулесовој пумпи наелектрисања. Већина експеримената са целобројним квантним Холовим ефектом данас се изводи на галијум-арсенидским хетероструктурама, иако се могу користити и многи други полупроводнички материјали. Године 2007, целобројни квантни Холов ефекат је забележен у графену на температурама високим као што је собна температура, и у магнезијум-цинк-оксиду ZnO–Mg_xZn_1−xO.

Целобројни квантни Холов ефекат

Датотека:QuantumHallEffectExplanationWithLandauLevels.ogv

Ландауови нивои

Шаблон:Main У две димензије, када су класични електрони изложени магнетном пољу, они прате кружне циклотронске орбите. Када се систем третира квантно-механички, ове орбите су квантизоване. Да би се одредиле вредности енергетских нивоа, мора се решити Шредингерова једначина.

Пошто је систем изложен магнетном пољу, оно се мора увести као електромагнетни векторски потенцијал у Шредингерову једначину. Разматрани систем је електронски гас који се слободно креће у x и y правцима, али је чврсто ограничен у z правцу. Тада се примењује магнетно поље у z правцу и, према Ландауовом гејџу, електромагнетни векторски потенцијал је $𝐀=(0,Bx,0)$ а скаларни потенцијал је $\varphi =0$. Тако, Шредингерова једначина за честицу наелектрисања $q$ и ефективне масе $m^{\ast }$ у овом систему је:

$\{\frac{1}{2m^{\ast }}{[𝐩-q𝐀]}^2+V(z)\}\psi (x,y,z)=\epsilon \psi (x,y,z)$

где је $𝐩$ канонски импулс, који се замењује оператором $-i\hslash \mathrm{\nabla }$, а $\epsilon$ је укупна енергија.

Да би се ова једначина решила, могуће ју је раздвојити на две једначине, пошто магнетно поље утиче само на кретање дуж x и y оса. Укупна енергија тада постаје збир два доприноса $\epsilon ={\epsilon }_z+{\epsilon }_{xy}$. Одговарајућа једначина за z осу је:

$[-\frac{{\hslash }^2}{2m^{\ast }}\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+V(z)]u(z)={\epsilon }_{z}u(z)$

Да би се ствари поједноставиле, решење $V(z)$ се сматра бесконачном потенцијалном јамом. Тако су решења за z правац енергије ${\epsilon }_z=\frac{n_z^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m^{\ast }{L}^2}$, $n_z=1,2,\mathrm{3...}$ а таласне функције су синусоидне. За $x$ и $y$ правце, решење Шредингерове једначине може се изабрати као производ равног таласа у $y$-правцу са неком непознатом функцијом од $x$, тј. ${\psi }_{xy}=u(x)e^{i{k}_{y}y}$. Ово је зато што векторски потенцијал не зависи од $y$, те оператор импулса ${\hat{p}}_y$ комутира са Хамилтонијаном. Заменом овог анзаца у Шредингерову једначину добија се једнодимензионална једначина хармонијског осцилатора центрирана на $x_{k_y}=\frac{\hslash k_y}{eB}$.

$[-\frac{{\hslash }^2}{2m^{\ast }}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}{m}^{\ast }{\omega }_{\mathrm{c}}^2(x-l_B^2{k}_y{)}^2]u(x)={\epsilon }_{xy}u(x)$

где је ${\omega }_{\mathrm{c}}=\frac{eB}{m^{\ast }}$ дефинисано као циклотронска фреквенција, а $l_B^2=\frac{\hslash }{eB}$ магнетна дужина. Енергије су:

${\epsilon }_{xy}\equiv {\epsilon }_{n_x}=\hslash {\omega }_{\mathrm{c}}(n_x+\frac{1}{2})$, $n_x=1,2,\mathrm{3...}$

А таласне функције за кретање у $xy$ равни дате су производом равног таласа у $y$ и Хермитових полинома пригушених Гаусовом функцијом у $x$, што су таласне функције хармонијског осцилатора.

Из израза за Ландауове нивое примећује се да енергија зависи само од $n_x$, а не од $k_y$. Стања са истим $n_x$ али различитим $k_y$ су дегенерисана.

Густина стања

При нултом пољу, густина стања по јединици површине за дводимензионални електронски гас, узимајући у обзир дегенерацију услед спина, независна је од енергије

$n_{\mathrm{2}\mathrm{D}}=\frac{m^{\ast }}{\pi {\hslash }^2}$.

Када се поље укључи, густина стања се са константне вредности сажима у Дираков чешаљ, низ Диракових $\delta$ функција, што одговара Ландауовим нивоима раздвојеним са $\mathrm{\Delta }{\epsilon }_{xy}=\hslash {\omega }_{\mathrm{c}}$. На коначној температури, међутим, Ландауови нивои добијају ширину $\mathrm{\Gamma }=\frac{\hslash }{{\tau }_i}$ где је ${\tau }_i$ време између догађаја расејања. Уобичајено се претпоставља да је прецизан облик Ландауових нивоа Гаусов или Лоренцов профил.

Још једна карактеристика је да таласне функције формирају паралелне траке у $y$-правцу, подједнако распоређене дуж $x$-осе, дуж линија $𝐀$. Пошто не постоји ништа посебно у вези са било којим правцем у $xy$-равни, ако би векторски потенцијал био другачије изабран, требало би пронаћи кружну симетрију.

За узорак димензија $L_x\times L_y$ и применом периодичних граничних услова у $y$-правцу $k=\frac{2\pi }{L_y}j$ где је $j$ цео број, добија се да је сваки параболички потенцијал постављен на вредност $x_k=l_B^{2}k$.

Параболички потенцијали дуж $x$-осе центрирани на $x_k$ са првим таласним функцијама које одговарају бесконачној потенцијалној јами у $z$ правцу. У $y$-правцу постоје путујући равни таласи.

Број стања за сваки Ландауов ниво и $k$ може се израчунати из односа између укупног магнетног флукса који пролази кроз узорак и магнетног флукса који одговара једном стању.

$N_B=\frac{\varphi }{{\varphi }_0}=\frac{BA}{B{L}_y\mathrm{\Delta }{x}_k}=\frac{A}{2\pi l_B^2}=\frac{AeB}{2\pi \hslash }=\frac{m^{\ast }{\omega }_{\mathrm{c}}A}{2\pi \hslash }$

Тако је густина стања по јединици површине

$n_B=\frac{m^{\ast }{\omega }_{\mathrm{c}}}{2\pi \hslash }$.

Приметите зависност густине стања од магнетног поља. Што је магнетно поље јаче, то је више стања у сваком Ландауовом нивоу. Као последица, постоји већа confinement у систему, јер је мање енергетских нивоа попуњено.

Преписивањем последњег израза као $n_B=\frac{\hslash {\omega }_{\mathrm{c}}}{2}\frac{m^{\ast }}{\pi {\hslash }^2}$ јасно је да сваки Ландауов ниво садржи онолико стања колико и дводимензионални електронски гас у $\mathrm{\Delta }\epsilon =\hslash {\omega }_{\mathrm{c}}$.

С обзиром на то да су електрони фермиони, сваком доступном стању у Ландауовим нивоима одговарају два електрона, по један електрон са сваком вредношћу за спин $s=\pm \frac{1}{2}$. Међутим, ако се примени јако магнетно поље, енергије се цепају на два нивоа због магнетног момента повезаног са поравнањем спина са магнетним пољем. Разлика у енергијама је $\mathrm{\Delta }E=\pm \frac{1}{2}g{\mu }_{\mathrm{B}}B$ где је $g$ фактор који зависи од материјала ($g=2$ за слободне електроне) а ${\mu }_{\mathrm{B}}$ је Боров магнетон. Знак $+$ се узима када је спин паралелан пољу, а $-$ када је антипаралелан. Ова чињеница, названа спинско цепање, имплицира да се густина стања за сваки ниво смањује за половину. Приметите да је $\mathrm{\Delta }E$ пропорционално магнетном пољу, па што је магнетно поље јаче, то је цепање релевантније.

Густина стања у магнетном пољу, занемарујући спинско цепање. (a) Стања у сваком опсегу $\hslash {\omega }_{\mathrm{c}}$ су стиснута у $\delta$-функцију Ландауовог нивоа. (b) Ландауови нивои имају ширину $\mathrm{\Gamma }$ која није нула у реалнијој слици и преклапају се ако је $\hslash {\omega }_{\mathrm{c}}<\mathrm{\Gamma }$. (c) Нивои постају различити када је $\hslash {\omega }_{\mathrm{c}}>\mathrm{\Gamma }$.

Да би се добио број попуњених Ландауових нивоа, дефинише се фактор попуне $\nu$ као однос густине стања у 2D електронском гасу и густине стања у Ландауовим нивоима.

$\nu =\frac{n_{\mathrm{2}\mathrm{D}}}{n_B}=\frac{h{n}_{\mathrm{2}\mathrm{D}}}{eB}$

У општем случају, фактор попуне $\nu$ није цео број. Постаје цео број када постоји тачан број попуњених Ландауових нивоа. Уместо тога, постаје не-целобројан када највиши ниво није у потпуности попуњен. У стварним експериментима, варира се магнетно поље и фиксира густина електрона (а не Фермијева енергија!) или се варира густина електрона и фиксира магнетно поље. Оба случаја одговарају континуалној варијацији фактора попуне $\nu$ и не може се очекивати да $\nu$ буде цео број. Пошто је $n_B\propto B$, повећањем магнетног поља, Ландауови нивои се померају навише у енергији и број стања у сваком нивоу расте, па мање електрона попуњава највиши ниво док не постане празан. Ако магнетно поље настави да расте, на крају ће сви електрони бити у најнижем Ландауовом нивоу ($\nu <1$) и то се назива магнетним квантним лимитом.

Попуњеност Ландауових нивоа у магнетном пољу, занемарујући спинско цепање, приказујући како се Фермијев ниво помера да би се одржала константна густина електрона. Поља су у односу $2:3:4$ и дају $\nu =4,\frac{8}{3}$ и $2$.

Лонгитудинална отпорност

Могуће је повезати фактор попуне са отпорношћу, а тиме и са проводљивошћу система. Када је $\nu$ цео број, Фермијева енергија лежи између Ландауових нивоа где нема доступних стања за носиоце, па проводљивост постаје нула (сматра се да је магнетно поље довољно јако да нема преклапања између Ландауових нивоа, иначе би било мало електрона и проводљивост би била приближно $0$). Сходно томе, и отпорност постаје нула (на врло високим магнетним пољима доказано је да су лонгитудинална проводљивост и отпорност пропорционалне).

Са проводљивошћу $\sigma ={\rho }^{-1}$ налази се

$\sigma =\frac{1}{det\rho }\left(\begin{array}{cc}{\rho }_{yy}& -{\rho }_{xy}\\ -{\rho }_{yx}& {\rho }_{xx}\end{array}\right).$

Ако је лонгитудинална отпорност нула, а трансверзална коначна, онда је $det\rho \ne 0$. Тако и лонгитудинална проводљивост и отпорност постају нула.

С друге стране, када је $\nu$ полу-цео број, Фермијева енергија се налази на врху дистрибуције густине неког Ландауовог нивоа. То значи да ће отпорност имати максимум због повећаног расејања.

Ова дистрибуција минимума и максимума одговара „квантним осцилацијама” названим Шубников-де Хасове осцилације, које постају релевантније како се магнетно поље повећава. Очигледно, висина врхова је већа како се магнетно поље повећава, јер се густина стања повећава са пољем, па има више носилаца који доприносе отпорности. Занимљиво је приметити да ако је магнетно поље врло мало, лонгитудинална отпорност је константна, што значи да се достиже класичан резултат.

Лонгитудинална и трансверзална (Холова) отпорност, ${\rho }_{xx}$ и ${\rho }_{xy}$, дводимензионалног електронског гаса као функција магнетног поља. Обе вертикалне осе су подељене квантном јединицом проводљивости $e^2/h$. Фактор попуне $\nu$ је приказан за последња 4 платоа.

Трансверзална отпорност

Из класичне релације за трансверзалну отпорност ${\rho }_{xy}=\frac{B}{e{n}_{\mathrm{2}\mathrm{D}}}$ и заменом $n_{\mathrm{2}\mathrm{D}}=\nu \frac{eB}{h}$ налази се квантизација трансверзалне отпорности и проводљивости:

${\rho }_{xy}=\frac{h}{\nu e^2}\Rightarrow \sigma =\nu \frac{e^2}{h}$

Закључује се, дакле, да је трансверзална отпорност вишекратник инверсне вредности такозваног кванта проводљивости $e^2/h$ ако је фактор попуне цео број. У експериментима се, међутим, платои посматрају за целе вредности попуне $\nu$, што указује да заправо постоје електронска стања између Ландауових нивоа. Ова стања су локализована у, на пример, нечистоћама материјала где су заробљена у орбитама, тако да не могу допринети проводљивости. Зато отпорност остаје константна између Ландауових нивоа. Опет, ако се магнетно поље смањи, добија се класичан резултат у којем је отпорност пропорционална магнетном пољу.

Фотонски квантни Холов ефекат

Квантни Холов ефекат, поред тога што се посматра у дводимензионалним електронским системима, може се посматрати и код фотона. Фотони немају суштинско електрично наелектрисање, али манипулацијом дискретних оптичких резонатора и фаза спреге или фаза на лицу места, може се створити вештачко магнетно поље. Овај процес се може изразити кроз метафору фотона који се одбијају између више огледала. Усмеравањем светлости преко више огледала, фотони се преусмеравају и добијају додатну фазу пропорционалну њиховом угаоном моменту. Ово ствара ефекат као да су у магнетном пољу.

Тополошка класификација

Хофстатеров лептир

Цели бројеви који се појављују у Холовом ефекту су примери тополошких квантних бројева. У математици су познати као први Чернови бројеви и блиско су повезани са Беријевом фазом. Упечатљив модел од великог интереса у овом контексту је Азбел-Харпер-Хофстатеров модел чији је квантни фазни дијаграм Хофстатеров лептир приказан на слици. Вертикална оса је јачина магнетног поља, а хоризонтална оса је хемијски потенцијал, који одређује густину електрона. Боје представљају целобројне Холове проводљивости. Топле боје представљају позитивне целе бројеве, а хладне боје негативне целе бројеве. Треба, међутим, имати на уму да је густина стања у овим регионима квантизоване Холове проводљивости нула; стога, они не могу произвести платое посматране у експериментима. Фазни дијаграм је фракталан и има структуру на свим скалама. На слици постоји очигледна самосличност. У присуству нереда, који је извор платоа виђених у експериментима, овај дијаграм је веома другачији и фрактална структура је углавном избрисана. Такође, експерименти контролишу фактор попуне, а не Фермијеву енергију. Ако се овај дијаграм нацрта као функција фактора попуне, све карактеристике се потпуно бришу, стога има врло мало везе са стварном физиком Холовог ефекта.

Што се тиче физичких механизама, нечистоће и/или одређена стања (нпр. ивичне струје) важни су и за целобројни и за фракциони ефекат. Поред тога, Кулонова интеракција је такође суштинска у фракционом квантном Холовом ефекту. Уочена јака сличност између целобројног и фракционог квантног Холовог ефекта објашњава се тенденцијом електрона да формирају везана стања са парним бројем квантова магнетног флукса, названа композитни фермиони.

Интерпретација Боровог атома фон Клицингове константе

Вредност фон Клицингове константе може се добити већ на нивоу једног атома унутар Боровог модела посматрајући га као једно-електронски Холов ефекат. Док је током циклотронског кретања на кружној орбити центрифугална сила уравнотежена Лоренцовом силом одговорном за трансверзални индуковани напон и Холов ефекат, може се посматрати разлика Кулоновог потенцијала у Боровом атому као индуковани једно-атомски Холов напон, а периодично кретање електрона по кругу као Холова струја. Дефинисањем једно-атомске Холове струје као брзине којом један електронски набој $e$ прави Кеплерове револуције са угаоном фреквенцијом $\omega$

$I=\frac{\omega e}{2\pi },$

и индукованог Холовог напона као разлике између Кулоновог потенцијала језгра водоника на тачки електронске орбите и у бесконачности:

$U=V_{\text{C}}(\mathrm{\infty })-V_{\text{C}}(r)=0-V_{\text{C}}(r)=\frac{e}{4\pi {ϵ}_{0}r}$

Добија се квантизација дефинисаног отпора Холове орбите Боровог атома у корацима фон Клицингове константе као

$R_{\text{Bohr}}(n)=\frac{U}{I}=n\frac{h}{e^2}$

који је за Боров атом линеаран, али не и инверзан у односу на цео број n.

Релативистички аналози

Релативистички примери целобројног квантног Холовог ефекта и квантног спинског Холовог ефекта настају у контексту теорије решетке гејџа.

Види још

• Квантни Холови прелази
• Фракциони квантни Холов ефекат
• Квантни аномални Холов ефекат
• Квантни ћелијски аутомат
• Композитни фермиони
• Квант проводљивости
• Холов ефекат
• Холов сензор
• Графен
• Квантни спински Холов ефекат

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Е. И. Рашба and В. Б. Тимофејев, Quantum Hall Effect, Sov. Phys. – Semiconductors v. 20, pp. 617–647 (1986).

Спољашње везе

• 25 years of Quantum Hall Effect, K. von Klitzing, Poincaré Seminar (Paris-2004). Постскрипт. Пдф.
• Magnet Lab Press Release Quantum Hall Effect Observed at Room Temperature