Неодређени интеграл

У математичкој анализи неодређени интеграл неке функције $f$ јесте диференцијабилна функција $F$ чији је извод једнак оригиналној функцији $f$. Процес проналажења решења неогређеног интеграла назива се интеграција, и она је супротна од операције диференцирања, која је процес налажења извода неке функције.

Теоријски увод

Нека је $F$ произвољна примитивна функција функције $f$ на интервалу $(a,b)$, неодређени интеграл дефинише се као:$$\int f(x)dx=F(x)+C,(C=const,a<x<b)$$За примитивну функцију 𝐹(𝑥) функције 𝑓(𝑥) на интервалу 𝐼 важи:

• $d\int f(x)dx=f(x)dx$
• $(\int f(x)dx)\prime =f(x)$
• $\int dF(x)=F(x)+C,C\in R$

Дефиниција

Шаблон:Colbegin За функцију $F:I\to ℝ$ се каже да је примитивна (првобитна) функција функције $f$ дефинисане на истом интервалу, ако важе следећи услови:

• Функција $F$ је непрекидна на интервалу $I$
• Функција $F$ у свакој унутрашњој тачки интервала $I$ има извод, и при том је: $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Скуп свих примитивних функција функције $f$ на интервалу $I$ назива се неодређени интеграл функције $f$ на интервалу $I$ и обележава са $\int f(x)dx$, где је $f$ подинтегрална функција, а $f(x)dx$ подинтегрални израз.

Теорема 1

Ако је $F$ примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$, онда је и свака функција

$F+c$, где је c∈ $ℝ$ произвољна константа, примитивна функција за $f$ на интервалу $I$.

Доказ.

$(F(x)+c{)}^{\prime }=F^{\prime }(x)+c^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$

Ако функција $f$ има примитивну функцију на интервалу $I$, онда на том интервалу има бесконачно много примитивних функција. Фамилија функција $\{F(x)+c|c\in ℝ\}$ представља скуп свих примитивних функција за функцију $f$ на интервалу $I$, где је $F$ једна њена примитивна функција на интервалу $I$.

Теорема 2

Нека су $F$ и $G$ примитивне функције за $f$ на интервалу $I$, онда постоји реална константа с таква да важи $G(x)=F(x)+c$, x∈ $I$

Доказ. Дефинишимо функцију $r(x)=F(x)$ − $G(x)$ за x∈ $I$. Функције $F$ и $G$ су непрекидне на интервалу $I$ ⇒ функција $r$ је непрекидна (као разлика непрекидних функција)

$F$ и $G$

су диференцијабилне у $intI$ ⇒ функција $r$ је диференцијабилна у $intI$ (као разлика диференцијабилних функција), и при том важи:

$r^{\prime }(x)=(F(x)$ − $G(x){)}^{\prime }=$ $F^{\prime }(x)$ − $G^{\prime }(x)=f(x)$ −$f(x)=0$.

Како је извод функције $r$ једнак 0 у свакој тачки интервала $I$ ⇒ $r$ је константна функција на $I$, односно:

$(\mathrm{\exists }c\in ℝ)(\mathrm{\forall }x\in I)c=r(x),$ ⇒ $c=F(x)$ − $G(x)$,

те је $G(x)=F(x)+c$, c∈ $ℝ$, x∈ $I$.

Теорема 3

Нека је функција $F$ непрекидна на интервалу $I$ и диференцијабилна у $intI$. Тада је : $\int dF(x)=F(x)+c,$ c∈ $ℝ$, x∈ $I$.

Доказ.

$\int dF(x)=\int F^{\prime }(x)dx=\int f(x)dx=F(x)+c,$ c∈ $ℝ$, x∈ $I$

Теорема 4

Нека функција $f$ има примитивну функцију на интервалу $I$. Тада у унутрашњим тачкама интервала $I$ важи:$d\int f(x)dx=f(x)dx,$.

Доказ.

$d\int f(x)dx=dF(x+c)=dF(x)=F^{\prime }(x)dx=f(x)dx,$.

Теорема 5

Нека функције $f_1$ и $f_2$ имају примитивне функције $F_1$ и $F_1$, редом, на интервалу $I$. Тада функција $f_1+f_2$ има примитивну функцију $F_1+F_2$ на $I$, и важи:

$\int (f_1(x)+f_2(x))dx=\int f_1(x)dx+\int f_2(x)dx$

Доказ

$F_1$ и $F_2$ примитивне функције за $f_1$ и $f_2$ на интервалу $I$ ⇒ $F_1$ и $F_1$ су непрекидне на $I$ и диференцијаблине на $intI$ ⇒ Функција $F_1+F_2$ је непрекидна на интервалу $I$ и диференцијабилна на $intI$. При том, важи: $(F_1(x)+F_2(x){)}^{\prime }=F{\text{'}}_1(x)+F{\text{'}}_2(x)=f_1(x)+f_2(x)$

⇒ функција $f_1+f_2$ има примитивну функцију $F_1+F_2$ на $I$.

$\int f_1(x)dx=F_1(x)+c_1$ и $\int f_2(x)dx=F_2(x)+c_2$, $c_1,c_2\in ℝ$

⇒ $\int f_1(x)dx+\int f_2(x)dx=F_1(x)+c_1+F_2(x)+c_2$,$c_1,c_2\in ℝ$. Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:

$\{F_1(x)+F_2(x)+c|c\in ℝ\}$ = $\{F_1(x)+F_2(x)+c_1+c_2|c_1,c_2\in ℝ\}$,
а она очигледно важи јер $c_1+c_2\in ℝ$.

Теорема 6

Нека функција $f$ има примитивну функцију $F$ на интервалу $I$ и нека је $k\in ℝ$. Тада функција $kf$ има примитивну функцију на $I$, и још ако је k≠0, важи: $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$.

Доказ.

$F$ је примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$, што значи да је непрекидна на $I$, диференцијабилна на унутрашњости интервала $I$ и важи: $F^{\prime }(x)=f(x)$. Дакле, следи да је и функција $kF$ непрекидна и важи: $(kF{)}^{\prime }(x)=k{F}^{\prime }(x)=kf(x)$, $x\in ℝ$. ⇒ $kF$ је примитивна фукнција функције $kf$ на интервалу $I$.

Нека је k≠0. Тада:
$\int kf(x)dx=kF(x)+c$, $c\in ℝ$,

$k\int f(x)dx=k(F(x)+c_1)=kF(x)+k{c}_1$, $c_1\in ℝ$.

Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:

$\{kF(x)+c|c\in ℝ\}$ = $\{kF(x)+k{c}_1|c_1\in ℝ\}$

Заиста,

$\{kF(x)+k{c}_1|c_1\in ℝ\}$ ⊆ $\{kF(x)+c|c\in ℝ\}$ јер је $k{c}_1\in ℝ$

$\{kF(x)+c|c\in ℝ\}$ ⊆ $\{kF(x)+k{c}_1|c_1\in ℝ\}$ јер је $c=k\frac{c}{k}=k{c}_1\in ℝ$, k≠0.

Ако је k=0:

$\int kf(x)dx=\int 0dx=0+c=c$, $c\in ℝ$,

$k\int f(x)dx=0(F(x)+c_1)=0$, $c_1\in ℝ$.

⇒ нису једнаки за k=0.

Теорема 7.

Нека функција $f$ има примитивну фукнцију $F$ на интервалу $I$. Тада је функција $\frac{1}{a}F(ax+b)$ примитивна функција фукције $f(ax+b)$ на $I$, $a,b\in ℝ$, и важи: $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+c$, $c\in ℝ$.

Доказ.

$F$ је примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$ ⇒ $F^{\prime }(x)=f(x)$ , $x\in intI$

⇒ $(\frac{1}{a}F(ax+b){)}^{\prime }=\frac{1}{a}(F(ax+b){)}^{\prime }(ax+b{)}^{\prime }=\frac{1}{a}f(ax+b)a=f(ax+b)$ ⇒ $\frac{1}{a}F(ax+b)$ је примитивна функција функције $f(ax+b)$ на посматраном интервалу.

Ово тврђење је корисно, јер олакшава решавање многих интеграла. Примери:

$\int (2x+3{)}^{7}dx=\frac{1}{2}\frac{(2x+3{)}^8}{8}+c$

$\int cos(2x+3)dx=\frac{1}{2}sin(2x+3)+c$

Методи интеграције

Налажење неодређених интеграла елементарних функција је често много теже него налажење извода тих функицја.

Зато постоје многе методе и начини за проналажење интеграла, као што су:

• Линеарност интеграла
• Смена променљиве
• Метод парцијалне интеграције
• Свођење квадратног тринома на канонски облик
• Метода неодређених коефицијената
• Интеграција помоћу рекурентних формула
• Итеграција рационалних функција
• Интеграција тригонометријских функција

Литература

• М. Рашајски, Б. Малешевић, Т. Лутовац, Б. Михаиловић, Н. Цакић: Линеарна алгебра, Универзитет у Београду - Електротехнички факултет и Академска мисао, Београд. ISBN: 978-86-7466-680-7
• Милан Меркле, Математичка анализа -теорија и хиљаду задатака-за студенте технике, треће измењено и допуњено издање, Академска мисао 2015.
• Цветковић Д., Лацковић И., Меркле М., Радосављевић З., Симић С., Васић П., Математика 1 – Алгебра, IX издање, Академска мисао, Београд, 2006.
• Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro

Спољашње везе

• Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• Mathematical Assistant on Web Шаблон:Wayback — symbolic computations online. Allows users to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
• Function Calculator from WIMS
• Integral at HyperPhysics
• Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy
• Integral calculator at Symbolab
• The Antiderivative at MIT
• Introduction to Integrals at SparkNotes
• Antiderivatives at Harvy Mudd College