Бретшнајдерова формула

Четвороугао

Бретшнајдерова формула се користи у геометрији за одређивање површине четвороугла, и гласи

$P=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}},$

при чему су, a, b, c и d странице четвороугла, s је половина обима четвороугла, а $\alpha$ и $\gamma$ наспрамни углови.

Бретшнајдерова формула даје површину четвороугла без обзира да ли је он тетиван или није.

Доказ

Ако се површина четвороугла означи са P, онда важи

$\begin{array}{cc}P& =\text{povrsina }\mathrm{△}BDC+\text{povrsina }\mathrm{△}ADB\\ & =\frac{1}{2}ab\sin \gamma +\frac{1}{2}cd\sin \alpha \end{array}$

Одатле је

$4P^2=(ab{)}^2{\sin }^2\gamma +(cd{)}^2{\sin }^2\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

Према косинусној теореми важи

$a^2+b^2-2ab\cos \gamma =c^2+d^2-2cd\cos \alpha ,$

пошто су обе стране израза једнаке квадрату дужине дијагонале BD.

Уколико се сабирци прегрупишу и обе стране квадрирају, једнакост се може записати на следећи начин:

$\frac{1}{4}(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2=(ab{)}^2{\cos }^2\gamma +(cd{)}^2{\cos }^2\alpha -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

Сабирањем добијене једнакости са горњом формулом за $4P^2$ добија се

$4P^2+\frac{1}{4}(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2=(ab{)}^2+(cd{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma ).$

После сређивања, биће:

$16P^2=4(a^2{b}^2+c^2{d}^2)-(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2-8abcd\cos (\alpha +\gamma ).$

Уколико се први члан збира са десне стране допуни до квадрата бинома, добија се:

$16P^2=4(ab+cd{)}^2-(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2-8abcd[1+\cos (\alpha +\gamma )].$

Ако се, затим, растави разлика квадрата са десне стране једнакости и ако се примени формула за половину угла на трећи сабирак, добија се:

$16P^2=[2(ab+cd)-(c^2+d^2-a^2-b^2)][2(ab+cd)+(c^2+d^2-a^2-b^2)]-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2},$

односно

$16P^2=[(a+b{)}^2-(c-d{)}^2][(c+d{)}^2-(a-b{)}^2]-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}.$

Претходна једнакост може се записати и овако:

$16P^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}.$

Узевши у обзир да је полуобим четвороугла

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$

добија се

$16P^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}$

одакле следи Бретшнајдерова формула.

Повезаност са другим формулама

Бретшнајдерова формула је уопштење формуле Брамагупте за површину тетивног четвороугла, а ова је уопштење Хероновог обрасца који се користи за израчунавање површине троугла.

Спољашње везе

• Бретшнајдерова формула на сајту -{wolfram.com}-