Формула Брамагупте

У геометрији, формула Брамагупте даје површину било ког четвороугла ако су му познате све странице и неки углови. У свом најпознатијем облику користи се за одређивање површине четвороугла који се може уписати у круг.

Основни облик

У свом основном облику, који је налакши за памћење, формула Брамгупте даје површину тетивног четвороугла са страницама a, b, c, d у облику

$P=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

где је s, полуобим четвороугла, одређен са

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Површина тетивног четвороугла је највећа могућа површина коју може да има четвороугао са све четири задате странице.

Доказ формуле

Тетивни четвороугао

Површина четвороугла $ABCD$ може се израчунати као збир површина $\mathrm{△}ADB$ и $\mathrm{△}BDC$

$P=\frac{1}{2}ad\sin \alpha +\frac{1}{2}bc\sin \gamma .$

Како је $ABCD$ тетивни четвороугао, $\mathrm{\angle }DAB=180^{\circ }-\mathrm{\angle }DCB$, па је $\sin \alpha =\sin \gamma$. Одатле је

$P=\frac{1}{2}ad\sin \alpha +\frac{1}{2}bc\sin \alpha$

$P^2=\frac{1}{4}{\sin }^2\alpha (ad+bc{)}^2$

$4P^2=(1-{\cos }^2\alpha )(ad+bc{)}^2$

$4P^2=(ad+bc{)}^2-co{s}^2\alpha (ad+bc{)}^2.$

Ако се примени косинусна теорема на $\mathrm{△}ADB$ и $\mathrm{△}BDC$ и помоћу ње се изрази дијагонала $DB,$, добија се

$a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2-2bc\cos \gamma .$

Пошто су углови $\alpha$ и $\gamma$ суплементни, важи $\cos \gamma =-\cos \alpha$ па ће бити

$2\cos \alpha (ad+bc)=a^2+d^2-b^2-c^2.$

Када се добијена једнакост уврсти у израз за површину, биће

$4P^2=(ad+bc{)}^2-\frac{1}{4}(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2$

$16P^2=4(ad+bc{)}^2-(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2,$

Уколико се израз растави коришћењем формуле за разлику квадрата:

$16P^2=(2(ad+bc)+a^2+d^2-b^2-c^2)(2(ad+bc)-a^2-d^2+b^2+c^2)$

$=((a+d{)}^2-(b-c{)}^2)((b+c{)}^2-(a-d{)}^2)$

$=(a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(d+b+c-a).$

Ако се полуобим означи са $s=\frac{a+b+c+d}{2},$ и то се уврсти у претходни корак:

$16P^2=16(s-a)(s-d)(s-b)(s-c).$

Коначна формула се добија кореновањем последње једнакости:

$P=\sqrt{(s-a)(s-d)(s-b)(s-c)}.$

Уопштење формуле

У случају да четвороугао није тетиван, формула Брамагупте се може уопштити узимањем у обзир величина два наспрамна угла четвороугла:

$P=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta }$

где је угао θ једнак половини њиховог збира. Овде није важно која два угла ће се бити изабрана, јер је полузбир величина друга два угла у четвороуглу допуна угла θ до опруженог угла. Како је cos(180° − θ) = −cosθ, биће cos²(180° − θ) = cos²θ.

Овај облик се понекад назива Бретшнајдерова формула, али постоје извори према којима је овај облик формуле дао Кулиџ, док је Бретшнајдерова формула била

$P=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$

где су p и q дужине дијагонала четвороугла.

Како је особина тетивног четвороугла да збир наспрамних углова има 180°, угао θ у горњој формули ће имати 90°, па је други елемент под кореном једнак

$abcd{\cos }^2\theta =abcd{\cos }^{2}90^{\circ }=abcd\cdot 0=0,$

одакле следи основни облик Брамагуптине формуле.

Сродне формуле

Херонова формула за површину троугла је специјалан случај формуле Брамагупте који се добија ако се узме да је d = 0.

Однос између основне формуле Брамгупте и њеног уопштења је сличан ономе између Питагорине теореме и косинусне теореме.

Спољашње везе

• Формула Брамагупте на сајту -{wolfram.com}-
• Доказ формуле на сајту -{planetmath.org}-