Бернулијева расподела

У теорији вероватноће и статистици, Бернулијева расподела, названа по швајцарском математичару Јакобу Бернулију, је дискретна расподела вероватноће случајне променљиве која узима вредност 1 са вероватноћом $p$ а вредност 0 са вероватноћом $q=1-p$ . Мање формално, може се сматрати моделом за скуп могућих исхода било ког појединачног експеримента који поставља питање да-не. Таква питања довести до исхода који су Булови резултати: један бит чија је вредност успех / да / истина / један од вероватноћа p и неуспех / не / лажно / нула са вероватноћа К. Може се користити за представљање (могуће пристрасног) бацања новчића где би 1 и 0 представљали „главе“ и „писма“ (или обрнуто), а p би представљало вероватноћу да ће новчић пасти на главу или реп.

Бернулијева расподела је посебан случај биномне дистрибуције где се спроводи једно испитивање (тако да би n било 1 за такву биномну дистрибуцију). То је такође посебан случај дистрибуције у две тачке, за коју могући исходи не морају бити 0 и 1.

Својства

Ако је $X$ случајна променљива са овом расподелом, онда је:

$\mathrm{Pr}(X=1)=p=1-\mathrm{Pr}(X=0)=1-q.$

Функција масе вероватноће функције $f$ ове расподеле, преко могућих исхода к, је

$f(k;p)=\{\begin{array}{cc}p& \text{if }k=1,\\ q=1-p& \text{if }k=0.\end{array}$

Такође се може изразити као:

$f(k;p)=p^k(1-p{)}^{1-k}\text{for }k\in \{0,1\}$

или се може изразити као:

$f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\text{for }k\in \{0,1\}.$

Бернулијева расподела је посебан случај биномске расподеле са $n=1.$

Куртозис иде у бесконачност за високе и ниске вредности параметра $p,$ али за параметар $p=1/2$ расподела у две тачке укључујући Бернулијеву расподелу има нижи вишак ексцеса од било које друге расподеле вероватноће, тј. −2.

Бернулијева расподела за $0\le p\le 1$ формира експоненцијалну породицу .

Процена максималне вероватноће за параметар $p$ на основу случајно одабраног узорка је средња вредност узорка .

Значење

Очекивана вредност Бернулијеве случајно одабране променљиве $X$ је

$\mathrm{E}\left(X\right)=p$

Ово знамо због чињенице да је за Бернулијеву расподељену случајну променљиву $X$ са $\mathrm{Pr}(X=1)=p$ и $\mathrm{Pr}(X=0)=q$ налазимо:

$\mathrm{E}[X]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.$

Променљивост

Расподела варијансе Бернулија $X$ је:

$\mathrm{Var}[X]=pq=p(1-p)$

Прво можемо наћи:о

$\mathrm{E}[X^2]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1^2+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0^2=p\cdot 1^2+q\cdot 0^2=p=\mathrm{E}[X]$

Из овога се да уследити:

$\mathrm{Var}[X]=\mathrm{E}[X^2]-\mathrm{E}[X{]}^2=\mathrm{E}[X]-\mathrm{E}[X{]}^2=p-p^2=p(1-p)=pq$

Са овим резултатом лако је доказати да ће за било коју Бернулијеву расподелу њена варијанса имати вредност у простирању $[0,1/4]$ .

Искривљеност (Skewness)

Искривљеност представља $\frac{q-p}{\sqrt{pq}}=\frac{1-2p}{\sqrt{pq}}$ . Када усвојимо стандардизовану Бернулијеву расподељену случајну променљиву $\frac{X-\mathrm{E}[X]}{\sqrt{\mathrm{Var}[X]}}$ налазимо да ова случајна променљива достиже $\frac{q}{\sqrt{pq}}$ са вероватноћом $p$ и постиже $-\frac{p}{\sqrt{pq}}$ са вероватноћом $q$ . Тако можемо да добијемо

$\begin{array}{cc}{\gamma }_1& =\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mathrm{E}[X]}{\sqrt{\mathrm{Var}[X]}}\right)}^3\right]\\ & =p\cdot {\left(\frac{q}{\sqrt{pq}}\right)}^3+q\cdot {(-\frac{p}{\sqrt{pq}})}^3\\ & =\frac{1}{{\sqrt{pq}}^3}(p{q}^3-q{p}^3)\\ & =\frac{pq}{{\sqrt{pq}}^3}(q-p)\\ & =\frac{q-p}{\sqrt{pq}}.\end{array}$

Виши моменти и кумуланти

Сви сирови(нобрађени) моменти су једнаки због чињенице да је $1^k=1$ и $0^k=0$ .

$\mathrm{E}[X^k]=\mathrm{Pr}(X=1)\cdot 1^k+\mathrm{Pr}(X=0)\cdot 0^k=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\mathrm{E}[X].$

Централни тренутак реда $k$ даје следећу једначину:

${\mu }_k=(1-p)(-p{)}^k+p(1-p{)}^k.$

Првих шест централних момената су следећи:

$\begin{array}{cc}{\mu }_1& =0,\\ {\mu }_2& =p(1-p),\\ {\mu }_3& =p(1-p)(1-2p),\\ {\mu }_4& =p(1-p)(1-3p(1-p)),\\ {\mu }_5& =p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\ {\mu }_6& =p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{array}$

Док виши централни моменти могу се компактније изразити у терминима ${\mu }_2$ и ${\mu }_3$, што је приказано испод:

$\begin{array}{cc}{\mu }_4& ={\mu }_2(1-3{\mu }_2),\\ {\mu }_5& ={\mu }_3(1-2{\mu }_2),\\ {\mu }_6& ={\mu }_2(1-5{\mu }_2(1-{\mu }_2)).\end{array}$

Првих шест кумуланата су следећи:

$\begin{array}{cc}{\kappa }_1& =p,\\ {\kappa }_2& ={\mu }_2,\\ {\kappa }_3& ={\mu }_3,\\ {\kappa }_4& ={\mu }_2(1-6{\mu }_2),\\ {\kappa }_5& ={\mu }_3(1-12{\mu }_2),\\ {\kappa }_6& ={\mu }_2(1-30{\mu }_2(1-4{\mu }_2)).\end{array}$

Повезане расподеле

• Ако су $X_1,\dots ,X_n$ независне, идентично распоређене ( i.i.d. ) случајне променљиве, сва Бернулијева испитивања са вероватноћом успеха p, онда се њихов збир распоређује према биномној расподели са параметрима n и p :

  $\sum _{k=1}^n{X}_k\sim \mathrm{B}(n,p)$ ( биномна расподела).

Бернулијева расподела је једноставна $\mathrm{B}(1,p)$, такође написана као функција: $\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}(p).$

• Категоријска расподела је генерализација Бернулијеве расподеле за променљиве са било којим константним бројем дискретних вредности.
• Бета дистрибуција је коњуговани претходник Бернулијеве расподеле.
• Геометријска дистрибуција моделира број независних и идентичних Бернулијевих покушаја потребних за постизање једног успеха.
• Ако $Y\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\left(\frac{1}{2}\right)$, онда $2Y-1$ има Радемахерову дистрибуцију .

Види још

• Бернулијев процес, случајни процес који се састоји од низа независних Бернулијевих испитивања
• Бернулијево узорковање
• Бинарна ентропијска функција
• Бинарни дијаграм одлучивања

Додатна литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Шаблон:SpringerEOM .
• Интерактивна графика: Једноваријантни односи дистрибуције .