Њутн-Коутс формуле

У нумеричкој анализи, Њутн-Коутс формуле су класа поступака из нумеричке интеграције. Име су добиле по Исаку Њутну и математичару Роџеру Котсу.

Основа Њутн-Коутс формула су Лагранжови полиноми. Када желимо да израчунамо одређен интеграл неке дате функције ($\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$), прво апроксимирамо дату функцију Лагранжовим полиномом па после израчунавамо интеграл тог полинома уместо функције (под претпоставком да смо добили $n+1$ тачака те функције).

Значи:

$f(x)\approx P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i^n(x),x_i\in [a,b]$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}P(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i^n(x)dx$

$f(x_i)$ су тачке дате функције за једнако распоређених $n+1$ апсциса $x_i$ у интервалу $[a,b]$.

f(x_i) можемо да сматрамо констатама, а због правила суме при интеграцији можемо да „извучемо“ суму испред интеграла:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_i)\underset{c_i^n}{\underbrace{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i^n(x)dx}}$

$l_i(x)$ зависи само од тачака $x_i,i=0,\dots ,n$, али не и од функције $f(x)$. Наша апроксимација постаје:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (b-a)\sum _{i=0}^n{c}_i^{n}f(x_i)$

$c_i^n$ представљају Коутс бројеве, $c_i^n=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{l}_i^n(x)dx$, који имају особине:

• $\sum _{i=0}^n{c}_k^n=1$
• $c_i^n=c_{n-i}^n$

За мали број тачака, ове формуле су добиле посебна имена ($f_i=f(x_i)$ ):

$x_i=a+i\cdot h,i=0,\dots ,n$ за $n\ge 1$, $h=\frac{b-a}{n}$, $n+1$ је број тачака;

$x_0=\frac{a+b}{2}$ за $n=1$.

n	име	Формула	Грешка ($\xi \in [a,b]$)
1	трапезоидно правило	$\frac{h}{2}(f_0+f_1)$	$-\frac{h^3}{12}{f}^{(2)}(\xi )$
2	Симпсоново правило	$\frac{h}{3}(f_0+4f_1+f_2)$	$-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$
3	Правило 3/8	$\frac{3h}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_3)$	$-\frac{3h^5}{80}{f}^{(4)}(\xi )$
4	Милнеово правило	$\frac{2h}{45}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)$	$-\frac{8h^7}{945}{f}^{(6)}(\xi )$

За велики број тачака у интервалу ($n\ge 5$) овај метод постаје неприменљив. Са једне стране захтева много тачака, а са друге наступају грешке у рачуну; за $n=8$ и $n\ge 10$ добићемо чак негативне тежине.

Да бисмо добили прецизан резултат, размак између тачака h мора да буде прилично мали, што за велики интервал $[a,b]$ то неће бити случај. Једно од могућих решења је да интервал поделимо на више мањих и онда да на сваком појединачно извршимо нумеричку интеграцију.