Јанг-Милсова теорија

Шаблон:Нерешено Шаблон:Квантна теорија поља Јанг-Милсова теорија је квантна теорија поља за нуклеарно везивање коју су осмислили Чен Нинг Јанг и Роберт Милс 1953. године, а представља и генерички назив за класу сличних теорија. Јанг-Милсова теорија је гејџ теорија заснована на специјалној унитарној групи Шаблон:Math, или уопштеније на било којој компактној Лијевој групи. Јанг-Милсова теорија настоји да опише понашање елементарних честица користећи ове неабелове Лијеве групе и налази се у срцу унификације електромагнетне силе и слабе силе (тј. Шаблон:Math) као и квантне хромодинамике, теорије јаке силе (засноване на Шаблон:Math). Стога она чини основу разумевања Стандардног модела физике честица.

Историја и квалитативни опис

Гејџ теорија у електродинамици

Све познате фундаменталне интеракције могу се описати у оквиру гејџ теорија, али је за то требало деценија да се разради. Пионирски рад Хермана Вајла на овом пројекту започео је 1915. године када је његова колегиница Еми Нетер доказала да свакој очуваној физичкој величини одговара одређена симетрија, а кулминирао је 1928. године када је објавио књигу у којој примењује геометријску теорију симетрије (теорију група) на квантну механику.Шаблон:Rp Вајл је одговарајућу симетрију у Нетериној теореми назвао „гејџ симетријом” по аналогији са стандардизацијом размака код железничких колосека.

Ервин Шредингер је 1922. године, три године пре рада на својој једначини, повезао Вајлов концепт групе са наелектрисањем електрона. Шредингер је показао да група $\mathrm{U}(1)$ производи фазни померај $e^{i\theta }$ у електромагнетним пољима, што се поклапа са очувањем електричног набоја.Шаблон:Rp Како се теорија квантне електродинамике развијала 1930-их и 1940-их, трансформације групе $\mathrm{U}(1)$ имале су централну улогу. Многи физичари су сматрали да мора постојати аналоган за динамику нуклеона. Чен Нинг Јанг је посебно био заинтересован за ту могућност.

Јанг и Милс проналазе гејџ теорију нуклеарне силе

Јангова основна идеја била је да потражи очувану величину у нуклеарној физици, упоредиву са електричним набојем, и да је искористи за развој одговарајуће гејџ теорије налик на електродинамику. Одлучио се за очување изоспина, квантног броја који разликује неутрон од протона, али није напредовао са теоријом.Шаблон:Rp На паузи од Принстона у лето 1953. године, Јанг је упознао сарадника који је могао да му помогне: Роберта Милса. Како сам Милс описује:

„Током академске 1953–1954. године, Јанг је био гост Брукхејвенске националне лабораторије ... И ја сам такође био у Брукхејвену ... и додељен му је исти кабинет као и Јангу. Јанг, који је у више наврата показао своју великодушност према физичарима на почетку каријере, рекао ми је о својој идеји генералисања гејџ инваријантности и о томе смо опширно разговарали ... Успео сам да допринесем дискусијама, посебно у вези са поступцима квантизације, и у малој мери у разради формализма; међутим, кључне идеје биле су Јангове.”

У лето 1953. године, Јанг и Милс су проширили концепт гејџ теорије за абелове групе, нпр. квантну електродинамику, на неабелове групе, изабравши групу Шаблон:Math да би објаснили очување изоспина у сударима који укључују јаке интеракције. Јангово представљање рада на Принстону у фебруару 1954. године оспорио је Паули, питајући за масу у пољу развијеном са идејом гејџ инваријантности.Шаблон:Rp Паули је знао да би то могао бити проблем јер је радио на примени гејџ инваријантности, али је одабрао да то не објави, сматрајући да су безмасене ексцитације теорије „нефизичке ’честице сенке’”.Шаблон:Rp Јанг и Милс су објавили у октобру 1954. године; при крају рада, они признају: Шаблон:Blockquote Овај проблем нефизичких безмасених ексцитација блокирао је даљи напредак.

Идеја је остављена по страни све до 1960. године, када је изнет концепт да честице добијају масу кроз спонтано кршење симетрије у безмасеним теоријама, првобитно од стране Џефрија Голдстона, Јоичира Намбуа и Ђованија Ђоне-Ласинија. То је подстакло значајан поновни замах проучавања Јанг-Милсових теорија, што се показало успешним у формулацији како електрослабог уједињења тако и квантне хромодинамике (QCD). Електрослаба интеракција је описана гејџ групом Шаблон:Math, док је QCD Шаблон:Math Јанг-Милсова теорија. Безмасени гејџ бозони електрослабог Шаблон:Math мешају се након спонтаног кршења симетрије да би произвели три масивна бозона слабе интеракције (Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math), као и још увек безмасено фотонско поље. Динамику фотонског поља и његове интеракције са материјом, затим, одређује Шаблон:Math гејџ теорија квантне електродинамике. Стандардни модел комбинује јаку интеракцију са уједињеном електрослабом интеракцијом (уједињујући слабу и електромагнетну) кроз групу симетрије Шаблон:Math. У садашњој епоси јака интеракција није уједињена са електрослабом интеракцијом, али се на основу уоченог бежећег понашања константи везивања верујеШаблон:Чињеница да све оне конвергирају ка јединственој вредности на веома високим енергијама.

Феноменологија на нижим енергијама у квантној хромодинамици није у потпуности схваћена због потешкоћа у управљању таквом теоријом са јаким везивањем. То може бити разлог зашто заточење још увек није теоретски доказано, иако представља конзистентно експериментално запажање. Ово показује зашто је заточење QCD-а на ниским енергијама математички проблем од велике важности и зашто је проблем постојања Јанг-Милсове теорије и масеног јаза један од Миленијумских проблема.

Паралелни рад на неабеловим гејџ теоријама

Године 1953, у приватној преписци, Волфганг Паули је формулисао шестодимензионалну теорију Ајнштајнових једначина поља опште релативности, проширујући петодимензионалну теорију Теодора Калуце, Оскара Клајна, Владимира Фока и других на унутрашњи простор виших димензија. Међутим, нема доказа да је Паули развио лагранжијан гејџ поља или његову квантизацију. Пошто је Паули сматрао да његова теорија „води до неких прилично нефизичких честица сенки”, уздржао се од формалног објављивања својих резултата. Иако Паули није објавио своју шестодимензионалну теорију, одржао је два семинарска предавања о њој у Цириху новембра 1953. године.

У јануару 1954. Роналд Шо, постдипломски студент на Универзитету у Кембриџу, такође је развио неабелову гејџ теорију за нуклеарне силе. Међутим, теорија је захтевала безмасене честице да би одржала гејџ инваријантност. Пошто такве безмасене честице у то време нису биле познате, Шо и његов супервизор Абдус Салам одлучили су да не објављују свој рад. Убрзо након што су Јанг и Милс објавили свој рад у октобру 1954. године, Салам је охрабрио Шоа да објави свој рад како би се обележио његов допринос. Шо је то одбио, и уместо тога, то чини само једно поглавље његове докторске тезе објављене 1956. године.

Математички преглед

Јанг-Милсове теорије су специјални примери гејџ теорија са неабеловом групом симетрије датом лагранжијаном

${ℒ}_{\mathrm{g}\mathrm{f}}=-\frac{1}{2}\mathrm{tr}(F^2)=-\frac{1}{4}{F}^{a\mu \nu }{F}_{\mu \nu }^a$

са генераторима $T^a$ Лијеве алгебре, индексираним са Шаблон:Mvar, који одговарају Шаблон:Mvar-величинама (облик закривљености или јачине поља) задовољавајући

$\mathrm{tr}\left(T^a{T}^b\right)=\frac{1}{2}{\delta }^{ab},[T^a,T^b]=i{f}^{abc}{T}^c.$

Овде, Шаблон:Mvar су структурне константе Лијеве алгебре (потпуно антисиметричне ако су генератори Лијеве алгебре нормализовани тако да је $\mathrm{tr}(T^a{T}^b)$ пропорционално са ${\delta }^{ab}$), коваријантни извод дефинисан је као

$D_{\mu }=I{\partial }_{\mu }-ig{T}^a{A}_{\mu }^a,$

Шаблон:Mvar је јединична матрица (одговара величини генератора), $A_{\mu }^a$ је векторски потенцијал, а Шаблон:Mvar је константа везивања. У четири димензије, константа везивања Шаблон:Mvar је чист број, а за Шаблон:Math групу важи $a,b,c=1\dots n^2-1.$

Релација

$F_{\mu \nu }^a={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^a+g{f}^{abc}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c$

може се извести из комутатора

$[D_{\mu },D_{\nu }]=-ig{T}^a{F}_{\mu \nu }^a.$

Поље има особину самоинтеракције, а добијене једначине кретања су семилинеарне, јер су нелинеарности присутне и са изводима и без њих. То значи да се овом теоријом може управљати само теоријом пертурбације са малим нелинеарностима.Шаблон:Чињеница

Приметите да је прелаз између „горњих” („контраваријантних”) и „доњих” („коваријантних”) компоненти вектора или тензора тривијалан за индексе a (нпр. $f^{abc}=f_{abc}$), док је за μ и ν нетривијалан, одговарајући нпр. уобичајеном Лоренцовом потпису, ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(+---).$

Из датог лагранжијана могу се извести једначине кретања дате са

${\partial }^{\mu }{F}_{\mu \nu }^a+g{f}^{abc}{A}^{\mu b}{F}_{\mu \nu }^c=0.$

Стављајући $F_{\mu \nu }=T^a{F}_{\mu \nu }^a,$ оне се могу преписати као

${\left(D^{\mu }{F}_{\mu \nu }\right)}^a=0.$

Важи Бјанкијев идентитет

${\left(D_{\mu }{F}_{\nu \kappa }\right)}^a+{\left(D_{\kappa }{F}_{\mu \nu }\right)}^a+{\left(D_{\nu }{F}_{\kappa \mu }\right)}^a=0$

који је еквивалентан Јакобијевом идентитету

$[D_{\mu },[D_{\nu },D_{\kappa }]]+[D_{\kappa },[D_{\mu },D_{\nu }]]+[D_{\nu },[D_{\kappa },D_{\mu }]]=0$

пошто је $[D_{\mu },F_{\nu \kappa }^a]=D_{\mu }{F}_{\nu \kappa }^a.$ Дефинишимо дуални тензор јачине ${\tilde{F}}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma },$ тада се Бјанкијев идентитет може преписати као

$D_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0.$

Извор $J_{\mu }^a$ улази у једначине кретања као

${\partial }^{\mu }{F}_{\mu \nu }^a+g{f}^{abc}{A}^{b\mu }{F}_{\mu \nu }^c=-J_{\nu }^a.$

Приметите да се струје морају правилно мењати под трансформацијама гејџ групе.

Овде дајемо неке коментаре о физичким димензијама константе везивања. У Шаблон:Mvar димензија, поље се скалира као $\left[A\right]=\left[L^{\left(\frac{2-D}{2}\right)}\right]$ па се и константа везивања мора скалирати као $\left[g^2\right]=\left[L^{(D-4)}\right].$ Ово имплицира да Јанг-Милсова теорија није ренормализабилна за димензије веће од четири. Даље, за Шаблон:Nobr константа везивања је бездимензиона, а и поље и квадрат константе везивања имају исте димензије као поље и константа везивања безмасене квартне скаларне теорије поља. Стога ове теорије деле инваријантност скале на класичном нивоу.

Квантизација

Метод за квантизацију Јанг-Милсове теорије је функционалним методама, тј. интегралима по путањама. Уводи се генеришући функционал за Шаблон:Mvar-тачкасте функције као

$Z[j]=\int [\mathrm{d}A]\exp [-\frac{i}{2}\int {\mathrm{d}}^{4}x\mathrm{tr}\left(F^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }\right)+i\int {\mathrm{d}}^{4}x{j}_{\mu }^a(x)A^{a\mu }(x)],$

али овај интеграл нема смисла какав јесте јер се векторски потенцијал може произвољно изабрати због гејџ слободе. Овај проблем је већ био познат за квантну електродинамику, али овде постаје озбиљнији због неабелових својстава гејџ групе. Излаз су дали Лудвиг Фадејев и Виктор Попов увођењем поља духова (погледајте Фадејев-Поповљев дух) које има особину да је нефизичко јер, иако поштује Ферми-Диракову статистику, представља комплексно скаларно поље, што крши теорему о спин-статистици. Дакле, можемо написати генеришући функционал као

$\begin{array}{cc}Z[j,\overline{\epsilon },\epsilon ]& =\int [\mathrm{d}A][\mathrm{d}\overline{c}][\mathrm{d}c]\exp \{i{S}_F[\partial A,A]+i{S}_{gf}\left[\partial A\right]+i{S}_g[\partial c,\partial \overline{c},c,\overline{c},A]\}\\ & \exp \{i\int {\mathrm{d}}^{4}x{j}_{\mu }^a(x)A^{a\mu }(x)+i\int {\mathrm{d}}^{4}x[{\overline{c}}^a(x){\epsilon }^a(x)+{\overline{\epsilon }}^a(x)c^a(x)]\}\end{array}$

где је

$S_F=-\frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^{4}x\mathrm{tr}\left(F^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }\right)$

за поље,

$S_{gf}=-\frac{1}{2\xi }\int {\mathrm{d}}^{4}x(\partial \cdot A{)}^2$

за фиксирање гејџа и

$S_g=-\int {\mathrm{d}}^{4}x({\overline{c}}^a{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }{c}^a+g{\overline{c}}^a{f}^{abc}{\partial }_{\mu }{A}^{b\mu }{c}^c)$

за духа. Ово је израз који се обично користи за извођење Фајнманових правила (погледајте Фајнманов дијаграм). Овде имамо Шаблон:Mvar за поље духа, док Шаблон:Mvar фиксира избор гејџа за квантизацију. Фајнманова правила добијена из овог функционала су следећа

Дијаграм	Фајнманово правило у простору импулса
Глуонски пропагатор Глуонски пропагатор	$D_{\mu \nu }^{ab}(k)=\frac{-i{\delta }^{ab}}{k^2+iϵ}(g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2})$
Три-глуонски вертекс 3-глуонски вертекс	$V_{\mu \nu \rho }^{abc}(p,q,r)=g{f}^{abc}[g_{\mu \nu }(p-q{)}_{\rho }+g_{\nu \rho }(q-r{)}_{\mu }+g_{\rho \mu }(r-p{)}_{\nu }],p+q+r=0$
Четири-глуонски вертекс 4-глуонски вертекс	$\begin{array}{cc}{V}_{\mu \nu \rho \sigma }^{abcd}& =-i{g}^2[f^{abe}{f}^{cde}(g_{\mu \rho }{g}_{\nu \sigma }-g_{\mu \sigma }{g}_{\nu \rho })\\ & +f^{ace}{f}^{bde}(g_{\mu \nu }{g}_{\rho \sigma }-g_{\mu \sigma }{g}_{\nu \rho })\\ & +f^{ade}{f}^{bce}(g_{\mu \nu }{g}_{\rho \sigma }-g_{\mu \rho }{g}_{\nu \sigma })]\end{array}$
Пропагатор духа Пропагатор духа	$D_{\mathrm{g}\mathrm{h}}^{ab}(k)=\frac{i{\delta }^{ab}}{k^2+iϵ}$
Дух-дух-глуон Дух--дух--глуон (ддг) вертекс	$V_{\mu }^{abc}({\overline{c}}^a(p),c^b(q),A_{\mu }^c(r))=-g{f}^{abc}{p}_{\mu },p+q+r=0$

Ова правила за Фајнманове дијаграме могу се добити када се горњи генеришући функционал препише као

$\begin{array}{cc}Z[j,\overline{\epsilon },\epsilon ]& =\exp (-ig\int {\mathrm{d}}^{4}x\frac{\delta }{i\delta {\overline{\epsilon }}^a(x)}{f}^{abc}{\partial }_{\mu }\frac{i\delta }{\delta j_{\mu }^b(x)}\frac{i\delta }{\delta {\epsilon }^c(x)})\\ & \times \exp (-ig\int {\mathrm{d}}^{4}x{f}^{abc}{\partial }_{\mu }\frac{i\delta }{\delta j_{\nu }^a(x)}\frac{i\delta }{\delta j_{\mu }^b(x)}\frac{i\delta }{\delta j^{c\nu }(x)})\\ & \times \exp (-i\frac{g^2}{4}\int {\mathrm{d}}^{4}x{f}^{abc}{f}^{ars}\frac{i\delta }{\delta j_{\mu }^b(x)}\frac{i\delta }{\delta j_{\nu }^c(x)}\frac{i\delta }{\delta j^{r\mu }(x)}\frac{i\delta }{\delta j^{s\nu }(x)})\\ & \times Z_0[j,\overline{\epsilon },\epsilon ]\end{array}$

са

$Z_0[j,\overline{\epsilon },\epsilon ]=\exp (-\int {\mathrm{d}}^{4}x{\mathrm{d}}^{4}y{\overline{\epsilon }}^a(x)C^{ab}(x-y){\epsilon }^b(y))\exp (\frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^{4}x{\mathrm{d}}^{4}y{j}_{\mu }^a(x)D^{ab\mu \nu }(x-y)j_{\nu }^b(y))$

као генеришућим функционалом слободне теорије. Развојем по Шаблон:Mvar и рачунањем функционалних извода, можемо добити све Шаблон:Mvar-тачкасте функције теоријом пертурбације. Коришћењем ЛСЗ редукционе формуле из Шаблон:Mvar-тачкастих функција добијамо одговарајуће амплитуде процеса, попречне пресеке и ширине распада. Теорија је ренормализабилна и корекције су коначне у било ком реду теорије пертурбације.

За квантну електродинамику поље духа се раздваја јер је гејџ група абелова. То се може видети из члана везивања између гејџ поља и поља духа, који је ${\overline{c}}^a{f}^{abc}{\partial }_{\mu }{A}^{b\mu }{c}^c.$ У абеловом случају све структурне константе $f^{abc}$ су нула, тако да нема везивања. У неабеловом случају, поље духа се појављује као користан начин да се квантна теорија поља препише без физичких последица на опсервабле теорије, као што су попречни пресеци или ширине распада.

Један од најважнијих резултата добијених за Јанг-Милсову теорију је асимптотска слобода. Овај резултат се може добити претпоставком да је константа везивања Шаблон:Mvar мала (дакле мале нелинеарности), као на високим енергијама, и применом теорије пертурбације. Важност овог резултата је због чињенице да Јанг-Милсова теорија која описује јаку интеракцију и асимптотску слободу омогућава исправно третирање експерименталних резултата који потичу из дубоко нееластичног расејања.

Да би се добило понашање Јанг-Милсове теорије на високим енергијама, а тиме и доказала асимптотска слобода, примењује се теорија пертурбације уз претпоставку мале константе везивања. Ово се потврђује a posteriori у ултраљубичастом лимиту. У супротном лимиту, инфрацрвеном лимиту, ситуација је обрнута, јер је везивање превелико да би теорија пертурбације била поуздана. Већина потешкоћа на које истраживања наилазе управо је управљање теоријом на ниским енергијама. То је интересантан случај, својствен опису хадронске материје и, уопштеније, свим уоченим везаним стањима глуона и кваркова и њиховом заточењу (погледајте хадрони). Најчешће коришћена метода за проучавање теорије у овом лимиту је покушај решавања на рачунарима (погледајте гејџ теорија на решетки). У овом случају, потребни су велики рачунарски ресурси да би се обезбедило да је тачан лимит бесконачне запремине (мањег размака решетке) достигнут. То је лимит са којим резултати морају бити упоређени. Мањи размак и веће везивање нису независни једно од другог, те су за свако потребни већи рачунарски ресурси. До данас, ситуација се чини донекле задовољавајућом за хадронски спектар и израчунавање пропагатора глуона и духова, али спектри глубола и хибрида су и даље упитни у погледу експерименталног посматрања таквих егзотичних стања. Заиста, резонанца Шаблон:Mvar није виђена ни у једном од таквих прорачуна на решетки и изнесена су контрастна тумачења. Ово је вруће дебатовано питање.

Отворени проблеми

Јанг-Милсове теорије су наишле на опште прихватање у физичкој заједници након што је Герард 'т Хофт, 1972. године, разрадио њихову ренормализацију, ослањајући се на формулацију проблема коју је разрадио његов супервизор Мартинус Велтман. Ренормализабилност се добија чак и ако су гејџ бозони описани овом теоријом масивни, као у електрослабој теорији, под условом да је маса само „стечена”, генерисана Хигсовим механизмом.

Математика Јанг-Милсове теорије је веома активно поље истраживања, дајући нпр. инваријанте диференцибилних структура на четвородимензионалним многострукостима кроз рад Сајмона Доналдсона. Штавише, област Јанг-Милсових теорија укључена је на листу „Миленијумских проблема” Клејовог математичког института. Овде се проблем-награда састоји, посебно, у доказу хипотезе да најниже ексцитације чисте Јанг-Милсове теорије (тј. без поља материје) имају коначан масени јаз у односу на вакуумско стање. Други отворени проблем, повезан са овом хипотезом, је доказ својства заточења у присуству додатних фермиона.

У физици, истраживање Јанг-Милсових теорија обично не почиње од пертурбационе анализе или аналитичких метода, већ однедавно од систематске примене нумеричких метода на гејџ теорије на решетки.

Види још

• Ахаронов-Бомов ефекат
• Кулонов гејџ
• Деформисане Хермитске Јанг-Милсове једначине
• Формулација стандардног модела у теорији поља
• Гејџ коваријантни извод
• Гејџ теорија (математика)
• Хермитске Јанг-Милсове једначине
• Калуца-Клајнова теорија
• Гејџ теорија на решетки
• Лоренцов гејџ
• [[N = 4 суперсиметрична Јанг-Милсова теорија|Шаблон:Mvar = 4 суперсиметрична Јанг-Милсова теорија]]
• Пропагатор
• Квантна гејџ теорија
• Симетрија у физици
• Дводимензионална Јанг-Милсова теорија
• Вајлов гејџ
• Јанг-Милсове једначине
• F-Јанг-Милсове једначине
• Би-Јанг-Милсове једначине
• Постојање Јанг-Милсове теорије и масени јаз
• Јанг-Милс-Хигсове једначине

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite web

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web