Sličnost (geometrija)

Извор: testwiki
Датум измене: 13. април 2024. у 11:42; аутор: imported>MilicevicBot (Бот: Special:Diff/27547949)
(разл) ← Старија измена | Тренутна верзија (разл) | Новија измена → (разл)
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Figure koje su prikazane istom bojom su slične

Dva geometrijska objekta se nazivaju sličnim ako imaju isti oblik, ili jedan ima isti oblik kao lik u ogledalu drugog. Preciznije, jedan se može dobiti od drugog ravnomernim skaliranjem (uvećavanjem ili smanjivanjem), i po potrebi sa dodatnom translacijom, rotacijom i refleksijom. To znači da se oba objekta mogu reskalirati, repozicionirati i reflektovati, tako da se tačno poklapaju s drugim objektom. Ako su dva objekta slična, svaki od njih je podudaran sa rezultatom određenog ravnomernog skaliranja drugog.

Na primer, svi krugovi su slični jedni drugima, svi kvadrati su međusobno slični, a svi jednakostranični trouglovi su međusobno slični. S druge strane, elipse nisu slične jedna drugoj, pravougaonici nisu svi međusobno slični, a jednakokraki trouglovi nisu svi slični jedan drugom.

Ako dva ugla trougla imaju mere jednake merama dva ugla drugog trougla, onda su trouglovi slični. Odgovarajuće strane sličnih poligona su proporcionalne, a odgovarajući uglovi sličnih poligona imaju istu meru.

U ovom članku se pretpostavlja da skaliranje može imati faktor skale od 1, tako da su svi podudarni oblici takođe slični, mada neki školski udžbenici eksplicitno isključuju kongruentne trouglove iz njihove definicije sličnih trouglova insistirajući da se veličine moraju razlikovati, ako su trouglovi kvalifikuju kao slični.

Slični trouglovi

U geometriji dva trougla, Шаблон:Math i Шаблон:Math, su slična ako i samo ako korespondirajući uglovi imaju istu meru: to znači da su slični ako i samo ako su dužine odgovarajućih strana proporcionalne.[1] Može se pokazati da su dva trougla koja imaju kongruentne uglove (jednakougaoni trouglovi) slični, odnosno može se dokazati da su odgovarajuće strane proporcionalne. To je poznato kao AAA teorema sličnosti.[2] Neophodno je napomenuti da je „AAA” mnemonička konstrukcija: svako od tri „A” odnosi se na jedan ugao. Usled ove teoreme, nekoliko autora pojednostavljuje definiciju sličnih trouglova da bi se samo zahtevalo da su odgovarajuća tri ugla kongruentna.[3]

Postoji nekoliko tvrdnji od kojih je svaka neophodna i dovoljna da bi dva trougla bila slična:

  • Trouglovi imaju dva kongruentna ugla,[4] koji u euklidskoj geometriji podrazumevaju da su svi njihovi uglovi kongruentni.[5] Drugim rečima:
Ako je Шаблон:Math jednake mere sa Шаблон:Math, i Шаблон:Math jednake mere sa Шаблон:Math, onda se iz toga podrazumeva da je Шаблон:Math jednake mere Шаблон:Math i da su trouglovi slični.
  • Sve korespondirajuće strane imaju dužine istog odnosa:[6]
Шаблон:Math. Ovo je ekvivalentno tvrdnji da je jedan trougao (ili njegov odraz u ogledlu) uvećanje drugog.
  • Dve strane imaju dužine istog odnosa, i uglovi između ovih strana imaju istu meru.[7] Na primer:
Шаблон:Math i Шаблон:Math ima istu meru sa Шаблон:Math.

Ovo je poznato kao SAS kriterijum sličnosti.[8] „SAS” je mnemonička konstrukcija: svaki od dva „S” se odnosi na stranicu (Шаблон:Jez-eng-lat), dok se „A” odnosi na ugao (Шаблон:Jez-eng-lat) između stranica.

Kad su dva trougla Шаблон:Math i Шаблон:Math slična, piše se[9]Шаблон:Rp

Шаблон:Math.

Postoji nekoliko elementarnih rezultata koji se tiču sličnih trouglova u euklidskoj geometriji:[10][11]

Polazeći od trougla Шаблон:Math i linijskog segmenta Шаблон:Math, može se pomoću lenjira i šestara pronaći tačka Шаблон:Math takva da je Шаблон:Math. Tvrdnja da tačka Шаблон:Math zadovoljava ovaj uslov postoji kao Valisov postulat[13] i logički je ekvivalentna Euklidovom postulatu paralelnosti.[14] U hiperboličkoj geometriji (gde je Valisov postulat ne važi) slični trouglovi su kongurentni.

U aksiomatskom tretmanu euklidske geometrije koji je dao G.D. Birkof (pogledajte Birkofove aksiome),[15][16][17] SAS kriterijum sličnosti naveden gore je korišten da se zameni Euklidov postulat paralelnosti i SAS aksiom, što je omogućilo dramatično skraćivanje Hilbertovih aksioma.[8]

Slični trouglovi pružaju osnovu za mnoge sintetičke (bez upotrebe koordinata) dokaze u euklidskoj geometriji.[18][19] Među elementarnim rezultatima koji se mogu dokazati na ovaj način su: teorema ugaone simetrale,[20] teorema geometrijske sredine, Čevova teorema, Menelajeva teorema[21][22] i Pitagorina teorema. Slični trouglovi takođe pružaju osvno za trigonometriju pravog trougla.[23]

U euklidskom prostoru

Sličnost (koja se naziva i transformacija sličnosti ili upoređenje) euklidskog prostora je bijekcija Шаблон:Math iz prostora na sebe koja množi sve udaljenosti sa istim pozitivnim realnim brojem Шаблон:Math, tako da za bilo koje dve tačke Шаблон:Math i Шаблон:Math postoji

d(f(x),f(y))=rd(x,y),

gde je „Шаблон:Math” euklidsko rastojanje od Шаблон:Math do Шаблон:Math.Шаблон:Sfn Skalar Шаблон:Math ima mnogo imena u literaturi uključujući; odnos sličnosti, faktor rastezanja i koeficijent sličnosti. Kada je Шаблон:Math = 1, sličnost se naziva izometrija (rigidna transformacija). Dva skupa se nazivaju sličnima ako je jedan slika drugog pod sličnošću.

Kao mapa Шаблон:Math, sličnost odnosa Шаблон:Math ima oblik

f(x)=rAx+t,

gde je Шаблон:Math jedna Шаблон:Math ortogonalna matrica i Шаблон:Math je translacioni vektor.

Sličnosti čuvaju ravni, prave, perpendikularnost, paralelizam, sredine, nejednakosti između rastojanja i segmenata pravca.Шаблон:Sfn Sličnosti čuvaju uglove, ali ne čuvaju nužno orijentaciju, direktne sličnosti čuvaju orijentaciju, a suprotne sličnosti je menjaju.Шаблон:Sfn

Sličnosti euklidskog prostora čine grupu pod operacijom kompozicije koja se naziva grupa sličnosti Шаблон:Math.Шаблон:Sfn Direktne sličnosti formiraju normalnu podgrupu od Шаблон:Math i euklidska grupa Шаблон:Math izometrija takođe formira normalnu podgrupu.Шаблон:Sfn Grupa sličnosti Шаблон:Math je sama po sebi podgrupa afine grupe, tako da je svaka sličnost afina transformacija.[24][25]

Euklidska ravan se može posmatrati kao kompleksna ravan,[26] odnosno kao dvodimenzionalni prostor nad realnim. 2D transformacije sličnosti se tada mogu izraziti u kontekstu kompleksne aritmetike i date su sa Шаблон:Math (direktne sličnosti) i Шаблон:Math (suprotne sličnosti), gde su Шаблон:Math i Шаблон:Math kompleksni brojevi, Шаблон:Math. Kada je Шаблон:Math, ove sličnosti su izometrije.

Reference

Шаблон:Reflist

Literatura

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Spoljašnje veze

Шаблон:Commons category-lat

Шаблон:Authority control-lat

  1. ↑ Шаблон:Harvnb
  2. ↑ Шаблон:Harvnb. This is also proved in Euclid's Elements, Book VI, Proposition 4.
  3. ↑ For instance, Шаблон:Harvnb and Шаблон:Harvnb
  4. ↑ Euclid's elements Book VI Proposition 4.
  5. ↑ This statement is not true in Non-euclidean geometry where the triangle angle sum is not 180 degrees.
  6. ↑ Euclid's elements Book VI Proposition 5
  7. ↑ Euclid's elements Book VI Proposition 6
  8. ↑ 8,0 8,1 Шаблон:Harvnb
  9. ↑ Posamentier, Alfred S. and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  10. ↑ Шаблон:Harvnb
  11. ↑ Шаблон:Citation
  12. ↑ Шаблон:Citation
  13. ↑ Named for John Wallis (1616–1703)
  14. ↑ Шаблон:Harvnb
  15. ↑ Шаблон:Citation
  16. ↑ Шаблон:Citation
  17. ↑ Шаблон:Citation
  18. ↑ Шаблон:Cite book (2012 Reprint as Шаблон:ISBN)
  19. ↑ Шаблон:Citation
  20. ↑ Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidean Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, Шаблон:ISBN, pp. 3-4
  21. ↑ Шаблон:Cite journal
  22. ↑ Шаблон:Cite journal
  23. ↑ Шаблон:Harvnb
  24. ↑ Шаблон:Cite book
  25. ↑ Шаблон:Cite book
  26. ↑ This traditional term, as explained in its article, is a misnomer. This is actually the 1-dimensional complex line.
Преузето из „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Sličnost_(geometrija)&oldid=7013”