Бијекција

Бијективна функција

У математици, за функцију -{f}- из скупа -{X}- у скуп -{Y}- се каже да је бијективна ако за свако -{y}- из -{Y}- постоји тачно једно -{x}- из -{X}-, такво да је -{f(x) = y}-.

Другим речима, -{f}- је бијекција ако је уједно и 1-1 (инјекција) и на (сурјекција) између ова два скупа.

На пример, бијективна је функција „насл“, дефинисана на скупу целих бројева -{Z → Z}-, тако да сваки цео број -{x}- пресликава у цео број насл(-{x}-) = -{x}- + 1. Други пример може бити функција „збиразл“, која сваки пар реалних бројева -{(x,y)}- пресликава у пар збиразл-{(x,y) = (x + y, x − y)}-.

Бијективна функција, или бијекција се такође назива и пермутацијом. Овај назив се углавном користи када је -{X = Y}-. Скуп свих бијекција из -{X}- у -{Y}- се означава као -{X}-$\leftrightarrow$-{Y}-.

Бијективне функције играју важну улогу у многим областима математике, на пример у дефиницији изоморфизма.

Композиција и инверзија

Функција -{f}- је бијекција акко је њена инверзна функција -{f}- ⁻¹ функција (а не тек уопштена функција). У том случају, -{f}- ⁻¹ је такође бијекција.

Композиција -{g o f}- две бијекције -{f}-$:$ -{X}-$\leftrightarrow$-{Y}- и -{g}-$:$ -{Y}-$\leftrightarrow$-{Z}- је бијекција. Инверз -{g o f}- је -{(g o f)⁻¹ = (f ⁻¹) o (g⁻¹)}-.

Бијекција састављена од инјекције и сурјекције.

Са друге стране, ако је композиција -{g o f}- две функције бијекција, можемо у општем случају рећи само да је -{f}- инјекција, а -{g}- сурјекција.

Релација -{f}- из -{X}- у -{Y}- је бијекција ако и само ако постоји друга релација -{g}- из -{Y}- у -{X}-, таква да је -{g o f}- идентитет на -{X}-, а -{f o g}- је идентитет на -{Y}-. Таква два скупа -{X}- и -{Y}- имају исту кардиналност.

Бијекције и кардиналност

Ако су -{X}- и -{Y}- коначни скупови, тада постоји бијекције између скупова -{X}- и -{Y}- акко -{X}- и -{Y}- имају исти број елемената. У ствари, у аксиоматској теорији скупова, ово се и узима као дефиниција „истог броја елемената“, и генерализација ове дефиниције за бесконачне скупове доводи до концепта кардиналних бројева, који су начин да се разликују величине бесконачних скупова.

Примери и контрапримери

• За сваки скуп -{X}-, идентична функција -{id_X}- из -{X}- у -{X}-, дефинисана као -{id_X(x) = x}-, је бијекција.
• Функција -{f}- из скупа реалних бројева -{R}- у -{R}- дефинисана као -{f(x) = 2x + 1}- је бијекција, јер за свако -{y}- постоји јединствено -{x = (y − 1)/2}- такво да -{f(x) = y}-.
• Експоненцијална функција -{g : R}- $\to$ -{R}-, са -{g(x) = e^x}-, није бијекција: на пример, не постоји -{x}- из -{R}-, таво да -{g(x) = −1}-, што показује да -{g}- није сурјекција. Међутим, ако се кодомен промени у позитивне реалне бројеве -{R}-_>0 =]0,+∞), тада -{g}- постаје бијекција; њен инверз је природни логаритам, -{ln}-.
• Функција -{h : R}- $\to$ [0,+∞) дефинисана као -{h(x) = x²}- није бијекција: на пример, -{h(−1) = h(+1) = 1}-, што показује да -{h}- није инјекција. Међутим, ако се њен домен промени у [0,+∞), тада -{h}- постаје бијекција; њен инверз постаје функција позитивног квадратног корена.
• $𝐑\to 𝐑:x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^3-x$ није бијекција, јер −1, 0, и +1 који су сви у домену пресликава у 0.
• $𝐑\to [-1,1]:x\mapsto \sin (x)$ није бијекција, јер и π/3 и 2π/3 који су у домену пресликава у (√3)/2.

Својства

• Функција -{f}- из -{R}- у -{R}- је бијекција ако и само ако било која хоризонтална линија пресеца њен граф у тачно једној тачки.
• Ако је -{X}- скуп, онда бијективне функције скупа -{X}- на самог себе, заједно са операцијом композиције функција, граде групу, симетричну групу скупа -{X}-, која се означава -{S(X)}-, -{S_X}-, или -{X}-! (последње се чита "-{X}- факторијел"). Доказује се да је свака група -{G}- изоморфна некој подгрупи симетричне групе -{S(G)}-.
• Ако је -{f}- бијекција, тада за сваки подскуп -{A}- домена и сваки подскуп -{B}- кодомена вреди -{|f(A)| = |A|}- и -{|f⁻¹(B)| = |B|}-.
• Ако су -{X}- и -{Y}- коначни скупови исте кардиналности, и -{f: X → Y}-, тада су следећи искази еквивалентни:

1. -{f}- је бијекција.
2. -{f}- је сурјекција.
3. -{f}- је инјекција.

Види још

• Инјективно пресликавање
• Изоморфизам
• Пермутација
• Симетрична група
• Сурјекција