Ојлеров идентитет

Ојлеров идентитет је у математици назив за формулу:

$e^{\mathrm{i}\phi }=\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi$

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број $\mathrm{e}$ је Ојлеров број (база природног логаритма), $\mathrm{i}$ имагинара јединица комплексних бројева, а $\phi \in ℝ$ угао.

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера -{„Introductio“}- објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била $\phi \in ℝ$, једначина важи и за $\phi \in ℂ$.

За угао $\phi =\pi$ добија се идентитет

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }=-1$

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }+1=0$

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве $\mathrm{i}$, $\pi$, $\mathrm{e}$, 1, и 0 (нула), основне математичке радње, сабирање, множење и степеновање, и најважнију релацију =, и ништа више.

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента $z=x+\mathrm{i}y$ прво дефинисала експоненцијална функција:

${\mathrm{e}}^{x+\mathrm{i}y}:={\mathrm{e}}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)$

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва метода

Посматрамо функцију:

$f(x)=\frac{\cos (x)+\mathrm{i}\cdot \sin (x)}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}$

Именилац никада није нула, јер важи:

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}={\mathrm{e}}^0=1$

Ојлеров идентитет тврди да је $f(x)=1$ за све вредности $x$.

Прво доказујемо да је функција $f(x)$ константна, односно да је њен извод $f^{\prime }(x)=0$ за све $x$:

Знамо да је извод од ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}$:

$\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}\right]=\mathrm{i}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}$

Следи:

$f^{\prime }(x)$	$=\frac{(-\sin x+\mathrm{i}\cdot \cos x)\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-(\cos x+\mathrm{i}\cdot \sin x)\cdot \mathrm{i}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}{)}^2}$
	$=\frac{-\sin x\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{i}\cdot \cos x\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{i}\cdot \cos x\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{i}}^2\cdot \sin x\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}{)}^2}$
	$=0$

$f^{\prime }(x)=0$ значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то $0$:

$f(0)=\frac{\cos (0)+\mathrm{i}\cdot \sin (0)}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}0}}=\frac{1+0}{{\mathrm{e}}^0}=\frac{1}{1}=1$

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода

Друга метода се користи редовима за $\cos$, $\sin$ и ${\mathrm{e}}^x$. Знамо да ове три функције можемо написати као:

${\mathrm{e}}^x=\sum _{k=0}^{2N+1}\frac{x^k}{k!},N\to \mathrm{\infty }$

$\cos (x)=\sum _{k=0}^N(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!},N\to \mathrm{\infty }$

$\sin (x)=\sum _{k=0}^N(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},N\to \mathrm{\infty }$

Из тога следи да ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}$ можемо поделити:

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }=\sum _{l=0}^{2N+1}\frac{(\mathrm{i}\phi {)}^l}{l!}=\sum _{m=0}^N(-1{)}^m\frac{{\phi }^{2m}}{(2m)!}+\mathrm{i}\sum _{n=0}^N(-1{)}^n\frac{{\phi }^{2m+1}}{(2m+1)!}$

За $N\to \mathrm{\infty }$ добијамо ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }=\cos (\phi )+\mathrm{i}\sin (\phi )$, што је наш тражени резултат.

Математичка лепота

Ојлеров идентитет се често наводи као пример дубоке математичке лепоте. Три основне аритметичке операције се дешавају тачно једном: сабирање, множење и степеновање. Идентитет такође повезује пет основних математичких константи:

• Број 0, адитивни идентитет.
• Број 1, мултипликативни идентитет.
• [[pi|Број Шаблон:Mvar]] (Шаблон:Mvar = 3.1415...), основна константа круга.
• [[e (mathematical constant)|Број Шаблон:Math]] (Шаблон:Math = 2.718...), познат и као Ојлеров број, који се широко јавља у математичкој анализи.
• [[imaginary unit|Број Шаблон:Math]], имагинарна јединица комплексних бројева.

Даље, једначина је дата у облику скупа израза једнаког нули, што је уобичајена пракса у неколико области математике.

Професор математике на Универзитету Стенфорд Кит Девлин је рекао: „попут Шекспировог сонета који хвата саму суштину љубави, или слике која открива лепоту људског облика који је много више од површности, Ојлерова једначина сеже у саму дубине постојања“. Пол Нахин, професор емеритус на Универзитету у Њу Хемпширу, који је написао књигу посвећену Ојлеровој формули и њеној примени у Фуријеовој анализи, описује Ојлеров идентитет као устројство „изузетне лепоте“.

Писац математике Констанс Рид изнела је мишљење да је Ојлеров идентитет „најпознатија формула у целој математици“. Бенџамин Пирс, амерички филозоф, математичар и професор на Универзитету Харвард из 19. века, након што је доказао Ојлеров идентитет током предавања, изјавио је да је идентитет „апсолутно парадоксалан; не можемо да га разумемо, и не знамо шта значи, али ми смо то доказали и стога знамо да то мора бити истина“.

Анкета читалаца коју је спровео часопис The Mathematical Intelligencer 1990. године назвала је Ојлеров идентитет „најлепшом теоремом у математици“. У другој анкети читалаца коју је спровео часопис Physics World 2004. године, Ојлеров идентитет је повезан са Максвеловим једначинама (електромагнетизма) као „највећа једначина икада“.

Најмање три књиге популарне математике су објављене о Ојлеровом идентитету:

• Невероватна формула др Ојлера: Лечи многе математичке болести, Пол Нахин (2011)
• Најелегантнија једначина: Ојлерова формула и лепота математике, Дејвид Стип (2017)
• Ојлерова пионирска једначина: Најлепша теорема у математици, Робин Вилсон (2018).

Литература

• Conway, John H., and Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer. Шаблон:Cite book
• Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America. Шаблон:Cite book
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
• Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli , Шаблон:Mvar: The Story of a number, Princeton University Press. Шаблон:Cite book
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press. Шаблон:Cite book
• Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books. Шаблон:Cite book
• Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of Americа
• Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America. Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• -{Complete derivation of Euler's identity}-
• -{Intuitive understanding of Euler's formula}-
• -{Weisstein, Eric W. "Euler Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.}-