Елиптички интеграли

Елиптички интеграли појавили су се у вези с решавањем дужине лука елипсе, а прво су их открили Леонард Ојлер и Ђулио Фањано.

У савременом приступу дефинишу се као функција Шаблон:Math, која може да се представи у облику:

$f(x)=\underset{c}{\overset{x}{\int }}R(t,\sqrt{P(t)})dt$

где је Шаблон:Math рационална функција два аргумента, Шаблон:Math је полином трећег или четвртога степена без понављања корења, а Шаблон:Math је константа.

Касније су откривене елиптичке функције као инверзне функције елиптичких интеграла.

Ознаке аргумената

Елиптички интеграли имају два аргумента, који могу да се изразе на неколико различитих начина, тако да постоји више конвенција.

Први аргумент може да се представи на више начина као:

• $\alpha$ модуларни угао
• $k=sin\alpha$ елиптички модул или ексцентрицитет
• $m=k^2=si{n}^2\alpha$ параметар.

Свака од три величине може да се прикаже помоћу било које друге од три величине.

Други аргумент може да се представи као:

• $\phi$ амплитуда
• Шаблон:Math или Шаблон:Math, где је $x=sin\phi =\text{sn}u$,

а $\text{sn}$ је једна од Јакобијевих елиптичких функција. При томе вреди:

$\cos \phi =\text{cn}u,$

$\sqrt{1-m{\sin }^2\phi }=\text{dn}u.$

Непотпуни елиптички интеграли прве врсте

Непотпуни елиптички интеграли прве врсте Шаблон:Math дефинисан је као:

$F(\phi ,k)=F(\phi |k^2)=F(\sin \phi ;k)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}.$

То је тригонометријски облик интеграла. Замењујући $t=\sin \theta ,x=\sin \phi$ добија се Јакобијев облик:

$F(x;k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}.$

Помоћу амплитуднога или модуларнога угла добија се:

$F(\phi \setminus \alpha )=F(\phi ,\sin \alpha )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha {)}^2}}.$

У тој нотацији вреди:

$F(\phi ,\sin \alpha )=F(\phi |{\sin }^2\alpha )=F(\phi \setminus \alpha )=F(\sin \phi ;\sin \alpha ).$

Са $x=\text{sn}(u;k)$ добија се:

$F(x;k)=u;$

Непотпуни елиптички интеграли друге врсте

Непотпуни елиптички интеграли друге врсте Шаблон:Math су облика:

$E(\phi ,k)=E(\phi |k^2)=E(\sin \phi ;k)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }d\theta .$

Замењујући $t=\sin \theta \text{,}x=\sin \phi$, добија се Јакобијев облик:

$E(x;k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{t}^2}}{\sqrt{1-t^2}}dt.$

На сличан начин помоћу амплитуде и модуларнога угла вреди:

$E(\phi \setminus \alpha )=E(\phi ,\sin \alpha )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha {)}^2}d\theta .$

Односи са Јакобијевим елиптичким функцијама су:

$E(\mathrm{s}\mathrm{n}(u;k);k)=\underset{0}{\overset{u}{\int }}{\mathrm{d}\mathrm{n}}^2(w;k)dw=u-k^2\underset{0}{\overset{u}{\int }}{\mathrm{s}\mathrm{n}}^2(w;k)dw=(1-k^2)u+k^2\underset{0}{\overset{u}{\int }}{\mathrm{c}\mathrm{n}}^2(w;k)dw.$

Непотпуни елиптички интеграли треће врсте

Непотпуни елиптички интеграли треће врсте Шаблон:Math је:

$\mathrm{\Pi }(n;\phi \setminus \alpha )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{1}{1-n{\sin }^2\theta }\frac{d\theta }{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha {)}^2}}$,

или

$\mathrm{\Pi }(n;\phi |m)=\underset{0}{\overset{\sin \phi }{\int }}\frac{1}{1-n{t}^2}\frac{dt}{\sqrt{(1-m{t}^2)(1-t^2)}}.$

Број Шаблон:Math назива се карактеристика и може да узме било коју вредност.

Треба приметити да је вредност $\mathrm{\Pi }(1;\frac{\pi }{2}|m)$ бесконачна за било који Шаблон:Math.

Односи са Јакобијевим елиптичким функцијама су:

$\mathrm{\Pi }(n;\mathrm{s}\mathrm{n}(u;k);k)=\underset{0}{\overset{u}{\int }}\frac{dw}{1-n{\mathrm{s}\mathrm{n}}^2(w;k)}.$

Потпуни елиптички интеграли прве врсте

Елиптички интеграли су потпуни ако је Шаблон:Math и онда је Шаблон:Math. Потпуни елиптички интеграли прве врсте $K(k)$ могу онда да се дефинишу као:

$K(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}},$

или помоћу непотпунога интеграла прве врсте:

$K(k)=F(\frac{\pi }{2},k)=F(1;k).$

Могу да се прикажу и преко реда:

$K(k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right]}^2{k}^{2n}=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[P_{2n}(0){]}^2{k}^{2n},$

где $P_n$ представља Лежандров полином, који је:

$K(k)=\frac{\pi }{2}\{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{k}^2+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2{k}^4+\cdots +{\left[\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}^2{k}^{2n}+\cdots \},$

$K(k)$ задовољава следеће једначине:

$\frac{\mathrm{d}K(k)}{\mathrm{d}k}=\frac{E(k)}{k(1-k^2)}-\frac{K(k)}{k}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}[k(1-k^2)\frac{\mathrm{d}K(k)}{\mathrm{d}k}]=kK(k)$

Потпуни елиптички интеграли друге врсте

Потпуни елиптички интеграли друге врсте $E(k)$ одговара обиму елипсе и дефинише се као:

$E(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }d\theta =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{t}^2}}{\sqrt{1-t^2}}dt,$

или преко непотпунога интеграла друге врсте:

$E(k)=E(\frac{\pi }{2},k)=E(1;k).$

Могу да се прикажу и преко реда:

$E(k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right]}^2\frac{k^{2n}}{1-2n},$

што је еквивалентно:

$E(k)=\frac{\pi }{2}\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\frac{k^2}{1}-{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\frac{k^4}{3}-\cdots -{\left[\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}^2\frac{k^{2n}}{2n-1}-\cdots \}.$

За њега важе и једначине:

$\frac{\mathrm{d}E(k)}{\mathrm{d}k}=\frac{E(k)-K(k)}{k}$

$(k^2-1)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}\left[k\frac{\mathrm{d}E(k)}{\mathrm{d}k}\right]=kE(k)$

Потпуни елиптички интеграли треће врсте

Потпуни елиптички интеграли треће врсте $\mathrm{\Pi }(n,k)$ дефинише се као:

$\mathrm{\Pi }(n,k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{(1-n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}.$

За њега важи:

$\frac{\partial \mathrm{\Pi }(n,k)}{\partial n}=\frac{1}{2(k^2-n)(n-1)}(E(k)+\frac{1}{n}(k^2-n)K(k)+\frac{1}{n}(n^2-k^2)\mathrm{\Pi }(n,k))$

$\frac{\partial \mathrm{\Pi }(n,k)}{\partial k}=\frac{k}{n-k^2}(\frac{E(k)}{k^2-1}+\mathrm{\Pi }(n,k))$

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:ISBN.}-
• Елиптички интеграл
• Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press