Издужени сфероидни координатни систем

Издужене сфероидне координате у тродимензионалном простору представљају ортогонални координатни систем настао ротацијом сфероида око велике оси. Ротацијом око мање оси добијају се спљоштене сфероидне координате. Издужене сфероидне координате користе се да се реше различите парцијалне диференцијалне једначине, у којима гранични услови одговарају издуженом сфероиду са два фокуса на великој оси. Један од реалних примера је електрон у електромагнетном пољу два позитивно набијена језгра, као што је случај у јонизованом молекулу водоника $H_2^{+}$

Дефиниција

Најчешћа дефиниција издужених сфероидних координата $(\mu ,\nu ,\varphi )$ је:

$x=a\sinh \mu \sin \nu \cos \varphi$

$y=a\sinh \mu \sin \nu \sin \varphi$

$z=a\cosh \mu \cos \nu$

где је $\mu$ ненегативан реални број, а $\nu \in [0,\pi ]$. Азимутални угао $\varphi$ је у интервалу $[0,2\pi )$.

Квадрирајући горње изразе добија се:

$\frac{z^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{x^2+y^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

што показује да површи константнога $\mu$ чине издужене сфероиде, а они представљају елипсе, које се ротирају око оси, које спајају њихове фокусе. На сличан начин добија се и следећа релација:

$\frac{z^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{x^2+y^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$

из које се види да површи константнога $\nu$ чине хиперболоиде.

Ламеови коефицијенти скалирања

Ламеови коефицијенти скалирања за елиптичне координате $(\mu ,\nu )$ су:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }$

а азимутални Ламеов коефицијент је:

$h_{\varphi }=a\sinh \mu \sin \nu$

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=a^3\sinh \mu \sin \nu ({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu d\varphi$

а Лапласијан је:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )}[\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2}+\coth \mu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu }+\cot \nu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu }]+\frac{1}{a^2{\sinh }^2\mu {\sin }^2\nu }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$

Алтернативне дефиниције

Постоји алтернативна дефиниција преко три координате $(\sigma ,\tau ,\varphi )$, где је: $\sigma =\cosh \mu$ и $\tau =\cos \nu$.

Онда добијамо:

$x=a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}\cos \varphi$

$y=a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}\sin \varphi$

$z=a\sigma \tau$

Алтернативни Ламеови коефицијенти

Ламеови коефицијенти за $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ су:

$h_{\sigma }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}}$

$h_{\tau }=a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}$

$h_{\varphi }=a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}$

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=a^3({\sigma }^2-{\tau }^2)d\sigma d\tau d\varphi$

а Лапласијан је:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \sigma }\left[({\sigma }^2-1)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right]+\frac{\partial }{\partial \tau }\left[(1-{\tau }^2)\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right]\}+\frac{1}{a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$

Дивергенција је:

$\mathrm{div}𝐀(\sigma ,\tau ,\varphi )=\frac{1}{a({\sigma }^2-{\tau }^2)}\frac{\partial }{\partial \sigma }\left[A_{\sigma }\sqrt{({\sigma }^2-{\tau }^2)({\sigma }^2-1)}\right]+$

$\frac{1}{a({\sigma }^2-{\tau }^2)}\frac{\partial }{\partial \tau }\left[A_{\tau }\sqrt{({\sigma }^2-{\tau }^2)(1-{\tau }^2)}\right]+\frac{1}{a\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}}\frac{\partial }{\partial \varphi }\left[A_{\varphi }\right]$

Литература

• Издужени сфероидни координатни систем
• -{Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.}-
• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:ISBN.}-
• -{Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. Шаблон:ISBN}-

Види још

• Спљоштени сфероидни систем
• Правоугли координатни систем
• Сферни координатни систем
• Елиптични координатни систем