Лежандрови полиноми

Лежандрови полиноми $P_n(x)$ представљају решења Лежандрове диференцијалне једначине:

$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_n(x)]+n(n+1)P_n(x)=0.$

Назив су добили по француском математичару Адријену-Мари Лежандру. Лежандрова диференцијална једначина често се сусреће у техници и физици, а посебно приликом решавања Лапласове једначине у сферном координатном систему.

Својства и полиноми

Генерирајућа формула за Лежандрове полиноме је:

$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)t^n(1)$

Лежандрови полиноми могу да се дефинишу и Родригезовом формулом:

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}[(x^2-1{)}^n].$

Експлицитни развој полинома је:

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2(x-1{)}^{n-k}(x+1{)}^k=2^n\cdot \sum _{k=0}^n{x}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{n+k-1}{2}}{n}),$

Првих неколико полинома је:

Првих 6 Лежандрових полинома

• $P_0(x)=1;$
• $P_1(x)=x;$
• $P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1);$
• $P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x);$
• $P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3);$
• $P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x);$
• $P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5);$
• $P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x);$
• $P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35);$
• $P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x);$
• $P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63).$

Рекурзије

Развојем формуле (1) за n=0 и n=1 добија се за прва два полинома:

$P_0(x)=1,P_1(x)=x$

Изводом формуле (1) добија се:

$\frac{x-t}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=(1-2xt+t^2)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{P}_n(x)t^{n-1}.$

а одатле се добија рекурзивна релација:

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x).$

Ортогоналност

Лежандрови полиноми су ортогонални:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$

где је δ_mn Кронекерова делта функција.

Друга својства

Лежандрови полиноми су симетрични или антисиметрични, зависно од -{n}-:

$P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x).$

Полиноми могу и да се представе преко поларнога угла:

$P_n(\cos \theta )=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d(\cos \theta {)}^n}({\cos }^2\theta -1{)}^n$

Постоји и рекурзивна релација, која укључује изводе:

$(2n+1)P_n(x)=\frac{d}{dx}[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)].$

Примена Лежандрових полинома у физици

Адријен-Мари Лежандр је први увео Лежандрове полиноме 1782. као коефицијенте развоја Њутновога гравитационога потенцијала, тако да је развио:

$\frac{1}{|𝐱-{𝐱}^{\prime }|}=\frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2r{r}^{\prime }\cos \gamma }}=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}{P}_{\ell }(\cos \gamma )$

где су $r$ и $r^{\prime }$ дужине вектора $𝐱$ и ${𝐱}^{\prime }$, а $\gamma$ је угао између та два вектора. Тај ред конвергира када је $r>r^{\prime }$. Лежандрови полиноми појављују се и приликом решавања Лапласове једначине ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐱)=0$ односно приликом решавања потенцијала у простору без наелектрисања.

За потенцијал добија се:

$\mathrm{\Phi }(r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}[A_{\ell }{r}^{\ell }+B_{\ell }{r}^{-(\ell +1)}]P_{\ell }(\cos \theta ).$

Придружени Лежандрови полиноми

Поред обичних Лежандрових полинома поостоје и придружени Лежандрови полиноми $P_{\ell }^m(x)$, који представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+(\ell [\ell +1]-\frac{m^2}{1-x^2})y=0,$

Придружени Лежандрови полиноми $P_{\ell }^m(x)$ повезани су са обичним Лежандровим полиномима $P_{\ell }(x)$ следећом релацијом:

$P_{\ell }^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}(P_{\ell }(x))$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. 1965. Шаблон:ISBN.
• Лежандрови полиноми