Infinitezimalni račun

Infinitezimalni račun je grana matematike koja se bavi funkcijama, izvodima, integralima, limesima i beskonačnim nizovima. Proučava razumevanje i opisivanje promena merljivih varijabli. Središnji koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Dve glavne grane su diferencijalni račun i integralni račun. Infinitezimalni račun je osnova matematičke analize. Koristi se u nauci, ekonomiji, inženjerstvu itd. Služi za rešavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu rešiti algebrom ili geometrijom. Infinitezimalni račun se na latinskom jeziku kaže -{„calculus infinitesimalis"}- i iz toga je proizašao naziv „kalkulus", koji se koristi u jednom delu sveta. Reč -{„infinitesimalis"}- znači "beskrajno mala veličina".

Infinitezimalni račun su nezavisno razvili krajem 17. veka Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic. Kasniji rad, uključujući kodifikaciju ideje o granicama, stavio je ovaj razvoj na čvršće konceptualne osnove. Danas, račun ima široku upotrebu u nauci, inženjerstvu i društvenim naukama.

Istorija

Isak Njutn

Gotfrid Vilhelm Lajbnic

U antičkom razdoblju bilo je ideja sličnih infinitezimalnom računu. Egipćani su računali zapreminu zarubljene piramide. Grci Eudoks i Arhimed koristili su metodu iscrpljivanja kojom se površina nekog oblika izračunava tako što se u njega ubacuje niz mnogouglova čije površine konvergiraju prema površini celog oblika. Tu metodu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. veku, da bi izračunao površinu kruga. U 5. veku Ču Čungdži koristio je metodu koja će kasnije biti nazvana Kavalijerijev princip za zapreminu lopte.

Godine 499. indijski matematičar Ariabhata I. je računao infinitezimalnim računom i zapisao astronomski problem u obliku diferencijalne jednačine. Na osnovu te jednačine je u 12. veku Bhaskara razvio neku vrstu izvoda. Oko 1000. godine Ibn al-Haitam je osmislio formulu za sve vrste četvrtih stepena i time pripremio put za integralni račun. U 12. veku persijski matematičar Šaraf al-Din al-Tusi otkrio je pravilo za odvajanje kubnog polinoma. U 17. veku japanski matematičar Šinsuke Seki Kova došao je do osnovnih spoznaja infinitezimalnog računa.

Infinitezimalni račun otkrili su nezavisno jedan od drugog u otprilike isto vreme Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic. Oni su otkrili zakone diferencijalnog i integralnog računa, izvoda (derivacije) i aproksimacija polinomnih nizova. Njihov rad nastavili su matematičari Ogisten Luj Koši, Bernhard Riman, Karl Vajerštras, Henri Lion Lebesk i dr.

Drevni prethodnici

Egipat

Proračun zapremine i površine, jedan od ciljeva integralnog računa, može se naći u egipatskom moskovskom papirusu (oko 1820 pne), ali formule su jednostavna uputstva, bez naznaka kako su dobijene.

Glavna poglavlja

Izvod

Izvod (derivacija) funkcije $f$ je granična vrednost koeficijenta porasta funkcije i prirasta argumenta kada prirast argumenta teži nuli.

Integral

Za datu funkciju -{f(x)}- realne promenljive x i interval -{[a,b]}- na pravcu realnih brojeva, integral

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

predstavlja površinu područja u ravni xy ograničenog grafom od -{f}-, x-osom i vertikalnim crtama x=a i x=b.

Limes

Poglavlje limesa funkcije razvilo se iz problema kako izračunati vrednost funkcije u slučajevima kada funkcija nije dobro definisana, npr. deljenje nulom. Limes funkcije -{f}- u tački -{a}- je broj kome se pridružuje funkcijska vrednost -{f(x)}-, kada vrednost -{x}- teži -{a}-.

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$

npr.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin(x)}{x}=1$

Svojstva limesa

$\begin{array}{cccc}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}& (f(x)+g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}f(x)+\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}g(x)\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}& (f(x)-g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}f(x)-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}g(x)\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}& (f(x)\cdot g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}f(x)\cdot \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}g(x)\\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}& (f(x)/g(x))& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}f(x)/\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to p}g(x)\end{array}$

Pogledajte još

• Lajbnic-Njutn računska kontroverza

Literatura

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Robert A. Adams. Шаблон:Page. Calculus: A complete course.
• Шаблон:Cite book Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
• Thomas/Finney. Шаблон:Page. Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
• Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Crowell, B. (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton., Приступљено 6. 5. 2007. from -{R|http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf}-
• Garrett, P. (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota., Приступљено 6. 5. 2007. from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
• Faraz, H. (2006). "Understanding Calculus", Приступљено 6. 5. 2007. from Understanding Calculus, URL -{R|http://www.understandingcalculus.com/}- (HTML only)
• Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology., Приступљено 6. 5. 2007. from https://web.archive.org/web/20070614183657/http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf
• Sloughter, Dan (2000). "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus"., Приступљено 17. 3. 2009. from -{R|http://synechism.org/drupal/de2de/}-
• Stroyan, K.D. (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa., Приступљено 6. 5. 2007. from -{R|https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm}- (HTML only)
• Strang, G. (1991). "Calculus" Massachusetts Institute of Technology., Приступљено 6. 5. 2007. from -{R|http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm}-
• Smith, William V. (2001). "The Calculus", Приступљено 4. 7. 2008. [1] Шаблон:Wayback (HTML only).}-
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Keisler, H.J. (2000). Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Retrieved 29 August 2010 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Spoljašnje veze

• Шаблон:Springer
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath
• Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
• Шаблон:In Our Time
• Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis – contains resources and links to other sites
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• The Role of Calculus in College Mathematics Шаблон:Wayback from ERICDigests.org
• OpenCourseWare Calculus from the Massachusetts Institute of Technology
• Infinitesimal Calculus – an article on its historical development, in Encyclopedia of Mathematics, ed. Michiel Hazewinkel.
• Шаблон:Cite web
• Calculus training materials at imomath.com Шаблон:Wayback
• The Excursion of Calculus, 1772