Линеарно пресликавање

У математици, линеарно пресликавање (такође линеарна трансформација или линеарни оператор) је функција између два векторска простора, која очувава операције сабирања вектора и скаларног множења. Израз линеарна трансформација се често користи, посебно за линеарна пресликавање из неког векторског простора у самог себе (ендоморфизми).

У језику апстрактне алгебре, линеарно пресликавање је хомоморфизам векторских простора, или морфизам у категорији векторских простора над датим пољем.

Дефиниција и директне последице

Нека су -{V}- и -{W}- векторски простори над истим пољем -{K}-. Функција -{f : V → W}- је линеарно пресликавање ако за свака два вектора -{x}- и -{y}- из -{V}- и сваки скалар -{a}- из -{K}-, важе следећа два услова:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$	адитивност
$f(ax)=af(x)$	хомогеност

Ово је еквивалентно захтеву да за све векторе -{x₁, ..., x_m}- и скаларе -{a₁, ..., a_m}-, важи једнакост

$f(a_1{x}_1+\cdots +a_m{x}_m)=a_{1}f(x_1)+\cdots +a_{m}f(x_m)$

Понекад може да се узме да су -{V}- и -{W}- векторски простори над различитим пољима. Тада је неопходно одредити које од ових поља се узима у дефиницији линеарности. Ако су -{V}- и -{W}- векторски простори над пољем -{K}- као у горњем случају, ради се о -{K}--линеарним пресликавањима. На пример конјугација комплексних бројева је -{R}--линеарно пресликавање -{C → C}-, али није -{C}--линеарно.

ЛИнеарно пресликавање из -{V}- у -{K}- (где се -{K}- посматра као векторски простор над самим собом) се назива линеарни функционал.

Из дефиниције директно следи да је -{f(0) = 0}-. Стога се линеарна пресликавања понекад називају хомогеним линеарним пресликавањима (види: линеарна функција).

Примери

• Идентитета и нула-пресликавање су линеарни.

• За реалне бројеве, пресликавање $x\mapsto x^2$ није линеарно.

• За реалне бројеве, пресликавање $x\mapsto x+1$ није линеарно.

• Ако је -{A}- -{m × n}- матрица, онда -{A}- дефинише линеарно пресликавање из -{Rⁿ}- у -{R^m}- тако што шаље вектор колона -{x ∈ Rⁿ}- у вектор колона -{Ax ∈ R^m}-. Обратно, свако линеарно пресликавање између коначно-димензионих векторских простора се може представити на овај начин.

• Интеграл даје линеарно пресликавање из простора свих интеграбилних функција реалне вредности на неком интервалу у -{R}-

• Диференцирање је линеарно пресликавање из простора свих диференцијабилних функција у простор свих функција.

Литература

• Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill. Шаблон:Page1