142857

Шаблон:Природни број 142.857 су шест понављајућих децималних цифара броја 1/7, 0,142857, које такође чине и најпознатији циклични број у бројевној основи 10. Овај број, помножен бројевима 2, 3, 4, 5, или 6, даје цикличну пермутацију самог себе.

Рачун

1 × 142.857 = 142.857

2 × 142.857 = 285.714

3 × 142.857 = 428.571

4 × 142.857 = 571.428

5 × 142.857 = 714.285

6 × 142.857 = 857.142

7 × 142.857 = 999.999

Ако је помножен целим бројем већим од 7, постоји једноставан поступак да се опет добије циклична пермутација броја 142857. Додавањем првих шест цифара преосталим цифрама и понављањем поступка док не остане само шест цифара, добија се циклична пермутација броја 142857

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

Множење умношком броја 7 ће резултовати бројем 999999 након истог процеса

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Квадрат прве три цифре одузет од квадрата последње три цифре такође даје цикличну пермутацију овог броја.

857² = 734449

142² = 20164

734449 - 20164 = 714285

Цифре 142857 су понављајућа ниска у децималном развоју рационалног броја 1/7 = 0 , 142857 142857 14... Стога се умношци броја 1/7 једноставно добијају поновљеним копијама одговарајућих умножака броја 142857:

1 ÷ 7 = 0 , 142857 142857 142857 14...

2 ÷ 7 = 0 , 285714 285714 285714 28...

3 ÷ 7 = 0 , 428571 428571 428571 42...

4 ÷ 7 = 0 , 571428 571428 571428 57...

5 ÷ 7 = 0 , 714285 714285 714285 71...

6 ÷ 7 = 0 , 857142 857142 857142 85...

7 ÷ 7 = 0 , 999999 999999 999999 99...

8 ÷ 7 = 1 , 142857 142857 142857 14...

9 ÷ 7 = 1 , 285714 285714 285714 28...

22 ÷ 7 = 3 , 142857 142857..., је стара апроксимација броја Пи.

$\frac{1}{7}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{3}^n*10^{-(n+1)}$

Једноставно комбиновање цифара на различите начине и дељење бројем 7 или умношком броја 7 даје

142 + 857 = 999

999 ÷ 7 = 142,7 142857 142857 142857 14...

14 + 28 + 57 = 99

99 ÷ 7 = 14, 142857 142857 142857...

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

27 ÷ 7 = 3.857 142857 142857 142857...

857 - 142 = 715

715 ÷ 7 = 102, 142857 142857 142857...

1 × 4 × 2 × 8 × 5 × 7 = 2240

2240 ÷ 49 = 45,7 142857 142857 142857...

1 + 42 + 857 = 900

900 ÷ 7 = 128,57 142857 142857 142857...

1 × 4 ÷ 2 × 8 ÷ 5 × 7 = 22,4

22,4 ÷ 49 = 0,457 142857 142857 142857...

У основи 10, 142.857 је Харшадов број и Капрекаров број.

$\frac{22}{7}$ као $\pi$

Ова античка апроксимација броја $\pi$ се доводи у везу са јеврејским мистицизмом. У одређеним кабалистичким круговима, као што су медиогегнијанци је познато да двадесет и два слова хебрејског писма представљају комплетан обим који кад се подели бројем седам (свети број циклуса) даје кабалистички $\pi$, такође познат у овим круговима као савршени $\pi$.

$\frac{22}{7}=3.142857142857142857...$$\pi =3,141592653589793238...$

Разлика између ова два броја је

$\frac{22}{7}-\pi =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx$

Литература

• Шаблон:Cite book
• -{Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 171 - 175}-

Види још

• Цикличан број

Спољашње везе

• Сајт броја 142857