0,999...

Стилистички приказ периодичног децималног броја 0,9999..., који представља цифру 9 која се бесконачно понавља.

У математици, 0,999... (такође се пише као 0,Шаблон:Overline, 0,Шаблон:Overset или 0,(9)) јесте периодични децимални број који представља алтернативни начин записивања броја 1. Према стандардним правилима за представљање реалних бројева у децималном запису, његова вредност је најмањи број већи или једнак сваком броју у низу 0,9, 0,99, 0,999, и тако даље. Може се доказати да је овај број 1; то јест,

0, 999 \dots = 1.

Упркос уобичајеним заблудама, 0,999... није „скоро тачно 1” нити „врло, врло близу, али не сасвим 1”; већ „0,999...” и „1” представљају Шаблон:Em исти број.

Постоји много начина да се покаже ова једнакост, од интуитивних аргумената до математички ригорозних доказа. Интуитивни аргументи се углавном заснивају на својствима коначних децималних бројева која се без доказа проширују на бесконачне децималне бројеве. У наставку је дат елементаран, али ригорозан доказ који укључује само елементарну аритметику и Архимедову аксиому: за сваки реалан број постоји природни број који је већи (на пример, заокруживањем навише). Други докази се углавном заснивају на основним својствима реалних бројева и методама анализе, као што су редови и лимеси. Питање које се проучава у математичком образовању јесте зашто неки људи одбацују ову једнакост.

У другим бројевним системима, 0,999... може имати исто значење, другачију дефиницију или бити недефинисано. Сваки не-нулти коначни децимални број има два једнака записа (на пример, 8,32000... и 8,31999...). Поседовање вредности са вишеструким записима је карактеристика свих позиционих бројевних система који представљају реалне бројеве.

Елементарни доказ

Архимедова аксиома: било која тачка Шаблон:Math пре циља лежи између две тачке Шаблон:Math (укључујући и њих).

Могуће је доказати једначину Шаблон:Nowrap користећи само математичке алате поређења и сабирања (коначних) децималних бројева, без икаквог позивања на напредније теме. Доказ дат у наставку је директна формализација интуитивне чињенице да, ако се 0,9, 0,99, 0,999, итд. нацртају на бројевној правој, не остаје простора за постављање броја између њих и 1. Значење записа 0,999... је најмања тачка на бројевној правој која лежи десно од свих бројева 0,9, 0,99, 0,999, итд. Пошто на крају нема простора између 1 и ових бројева, тачка 1 мора бити ова најмања тачка, па је Шаблон:Nowrap.

Интуитивно објашњење

Ако се 0,9, 0,99, 0,999, итд. поставе на бројевну праву, одмах се види да су све ове тачке лево од 1 и да се све више приближавају 1. За било који број $x$ који је мањи од 1, низ 0,9, 0,99, 0,999, и тако даље, ће на крају достићи број већи од Шаблон:Tmath. Дакле, нема смисла идентификовати 0,999... са било којим бројем мањим од 1. У међувремену, сваки број већи од 1 биће већи од било ког децималног броја облика 0,999...9 за било који коначан број деветки. Стога, 0,999... се не може идентификовати ни са једним бројем већим од 1. Пошто 0,999... не може бити веће од 1 нити мање од 1, мора бити једнако 1 ако уопште треба да буде неки реалан број.Шаблон:Sfnp Шаблон:Sfnp

Ригорозни доказ

Означимо са 0,(9)_{Шаблон:Math} број 0,999...9, са $n$ деветки после децималног зареза. Тако је Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, и тако даље. Имамо Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, и тако даље; то јест, Шаблон:Nowrap за сваки природни број Шаблон:Tmath.

Нека је $x$ број који није већи од 1 и већи је од 0,9, 0,99, 0,999, итд.; то јест, Шаблон:Nowrap, за свако Шаблон:Tmath. Одузимањем ових неједнакости од 1, добијамо Шаблон:Nowrap.

Крај доказа захтева да не постоји позитиван број који је мањи од $\frac{1}{1 0^{n}}$ за свако Шаблон:Tmath. Ово следи из Архимедове аксиоме, која се може изразити као: „за сваки реалан број, постоји природан број који је већи”. Израчунавањем реципрочне вредности, ово имплицира да за сваки позитиван реалан број постоје природни бројеви чије су реципрочне вредности мање. Стога, за било који позитиван реалан број, мора постојати неко Шаблон:Tmath такво да је $\frac{1}{1 0^{n}}$ мање.Шаблон:Sfnp Шаблон:Sfnp Ово својство имплицира да ако је Шаблон:Nowrap за свако Шаблон:Tmath, онда Шаблон:Nowrap може бити једнако само 0. Дакле, Шаблон:Nowrap и 1 је најмањи број који је већи од свих 0,9, 0,99, 0,999, итд. То јест, Шаблон:Nowrap, као што је и тврђено.Шаблон:Sfnp Овај доказ се ослања на Архимедову аксиому рационалних и реалних бројева. Реални бројеви се могу проширити у бројевне системе, као што су хиперреални бројеви, са бесконачно малим бројевима (инфинитезималима) и бесконачно великим бројевима (бесконачним бројевима).Шаблон:Sfnp Шаблон:Sfnp Када се користе такви системи, нотација 0,999... се углавном не користи, јер не постоји најмањи број међу бројевима већим од свих 0,(9)_{Шаблон:Math}.Шаблон:Efn

Најмање горње границе и потпуност

Део онога што овај аргумент показује јесте да постоји најмања горња граница низа 0,9, 0,99, 0,999, итд.: најмањи број који је већи од свих чланова низа. Један од аксиома система реалних бројева је аксиома потпуности, која каже да сваки ограничен низ има најмању горњу границу.Шаблон:Sfnp Шаблон:Sfnp Ова најмања горња граница је један од начина дефинисања бесконачних децималних записа: реалан број представљен бесконачним децималним записом је најмања горња граница његових коначних скраћења.Шаблон:Sfnp Овде аргумент не мора да претпостави потпуност да би био валидан, јер показује да овај конкретан низ рационалних бројева има најмању горњу границу и да је та најмања горња граница једнака јединици.Шаблон:Sfnp

Алгебарски аргументи

Једноставне алгебарске илустрације једнакости су предмет педагошке расправе и критике. Шаблон:Harvtxt разматра аргумент да се у основној школи учи да је Шаблон:Nowrap, па, игноришући све суштинске суптилности, „множење” ове једнакости са 3 даје Шаблон:Nowrap. Он даље каже да овај аргумент није убедљив, због нерешене двосмислености у вези са значењем знака једнакости; ученик би могао помислити: „То сигурно не значи да је број 1 идентичан ономе што се подразумева под нотацијом 0,999...”. Већина студената основних студија математике са којима се Бајерс сусрео сматра да је 0,999... „веома близу” 1 на основу овог аргумента, а неки чак кажу да је „бесконачно близу”, али нису спремни да кажу да је једнако 1.Шаблон:Sfnp Шаблон:Harvtxt разматра како „овај аргумент добија на снази из чињенице да је већина људи индоктринирана да прихвати прву једначину без размишљања”, али такође сугерише да би аргумент могао навести скептике да преиспитају ову претпоставку.Шаблон:Sfnp

Бајерс такође представља следећи аргумент. Шаблон:Block indent

Ученици који нису прихватили први аргумент понекад прихватају други аргумент, али, по Бајерсовом мишљењу, и даље нису решили двосмисленост, и стога не разумеју представљање бесконачних децималних бројева. Шаблон:Harvtxt, представљајући исти аргумент, такође наводе да он не објашњава једнакост, указујући да би такво објашњење вероватно укључивало концепте бесконачности и потпуности.Шаблон:Sfnp Шаблон:Harvtxt, цитирајући Шаблон:Harvtxt, такође закључују да је третман идентитета заснован на оваквим аргументима, без формалног концепта лимеса, преурањен.Шаблон:Sfnmp Шаблон:Harvtxt се слаже, тврдећи да знање да се 0,999... може помножити са 10 померањем децималног зареза претпоставља одговор на дубље питање како се уопште даје значење изразу 0,999....Шаблон:Sfnp Исти аргумент даје и Шаблон:Harvtxt, који примећује да скептици могу довести у питање да ли се $x$ може скратити—то јест, да ли има смисла одузети $x$ са обе стране.Шаблон:Sfnp Шаблон:Harvtxt слично тврди да и множење и одузимање које уклања бесконачни децимални запис захтевају даље оправдање.Шаблон:Sfnp

Аналитички докази

Реална анализа је проучавање логичких основа анализе, укључујући понашање низова и редова реалних бројева.Шаблон:Sfnp Докази у овом одељку успостављају Шаблон:Nowrap користећи технике познате из реалне анализе.

Бесконачни редови и низови

Шаблон:Further

Уобичајени развој децималних записа је да се они дефинишу као бесконачни редови. Уопштено: $b_{0}, b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} \dots = b_{0} + b_{1} (\frac{1}{10}) + b_{2} {(\frac{1}{10})}^{2} + b_{3} {(\frac{1}{10})}^{3} + b_{4} {(\frac{1}{10})}^{4} + \dots .$

За 0,999... може се применити теорема о конвергенцији која се односи на геометријски ред, која каже да ако је Шаблон:Nowrap, онда:Шаблон:Sfnmp $a r + a r^{2} + a r^{3} + \dots = \frac{a r}{1 - r} .$

Пошто је 0,999... такав збир са $a = 9$ и количником Шаблон:Tmath, теорема брзо решава питање: $0, 999 \dots = 0 + 9 (\frac{1}{10}) + 9 {(\frac{1}{10})}^{2} + 9 {(\frac{1}{10})}^{3} + \dots = \frac{9 (\frac{1}{10})}{1 - \frac{1}{10}} = 1.$ Овај доказ се појављује још 1770. године у Елементи алгебре Леонарда Ојлера.Шаблон:Sfnp

Збир геометријског реда је сам по себи резултат чак и старији од Ојлера. Типично извођење из 18. века користило је манипулацију члан по члан сличну алгебарском доказу датом горе, и чак 1811. године, Боникаслов уџбеник Увод у алгебру користи такав аргумент за геометријске редове да оправда исти маневар на 0,999...Шаблон:Sfnmp Реакција из 19. века против таквих либералних метода сумирања резултирала је дефиницијом која и данас доминира: збир реда се дефинише као лимес низа његових парцијалних сума. Одговарајући доказ теореме експлицитно израчунава тај низ; може се наћи у неколико увода у анализу или калкулус заснованих на доказима.Шаблон:Sfnmp

Низ Шаблон:Nowrap има вредност $x$ као свој лимес ако растојање $| x - x_{n} |$ постане произвољно мало како $n$ расте. Тврдња да се Шаблон:Nowrap може сама по себи тумачити и доказати као лимес:Шаблон:Efn $0, 999 \dots \overset{d e f}{=} lim_{n \to \infty} 0. \underset{n}{\underset{⏟}{99 \dots 9}} \overset{d e f}{=} lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{9}{1 0^{k}} = lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{1 0^{n}}) = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 0^{n}} = 1 - 0 = 1.$ Прве две једнакости могу се тумачити као симболичке скраћене дефиниције. Преостале једнакости се могу доказати. Последњи корак, да 10^{Шаблон:Math} тежи 0 док $n$ тежи бесконачности (Шаблон:Tmath), често се оправдава Архимедовом аксиомом реалних бројева. Овај став према 0,999... заснован на лимесима често се изражава у евокативнијим, али мање прецизним терминима. На пример, уџбеник из 1846. године Универзитетска аритметика објашњава: „.999 +, настављено до бесконачности = 1, јер свако додавање једне 9-ке приближава вредност 1”; уџбеник из 1895. Аритметика за школе каже: „када се узме велики број 9-ки, разлика између 1 и .99999... постаје незамисливо мала”.Шаблон:Sfnmp Такве хеуристике студенти често погрешно тумаче као да имплицирају да је сам 0,999... мањи од 1.Шаблон:Sfnp

Угнежђени интервали и најмање горње границе

Шаблон:Further

Угнежђени интервали: у бази 3, Шаблон:Nowrap.

Горе наведена дефиниција реда дефинише реалан број именован децималним записом. Комплементаран приступ је прилагођен супротном процесу: за дати реалан број, дефинисати децимални запис(е) који га именују.

Ако се зна да се реалан број $x$ налази у затвореном интервалу Шаблон:Nowrap (то јест, већи је или једнак 0 и мањи или једнак 10), може се замислити подела тог интервала на десет делова који се преклапају само на крајњим тачкама: Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, и тако даље до Шаблон:Nowrap. Број $x$ мора припадати једном од њих; ако припада Шаблон:Nowrap, онда се записује цифра „2” и тај интервал се даље дели на Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, ..., Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap. Настављањем овог процеса добија се бесконачан низ угнежђених интервала, означен бесконачним низом цифара Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, ..., и пише се $x = b_{0} . b_{1} b_{2} b_{3} \dots .$

У овом формализму, идентитети Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap одражавају, респективно, чињеницу да 1 лежи и у Шаблон:Nowrap и у Шаблон:Nowrap, па се може изабрати било који подинтервал приликом проналажења његових цифара. Да би се осигурало да ова нотација не злоупотребљава знак „=”, потребан је начин да се реконструише јединствен реалан број за сваки децимални запис. Ово се може урадити помоћу лимеса, али друге конструкције настављају са темом уређења.Шаблон:Sfnmp

Један директан избор је Канторов принцип уметнутих интервала, који гарантује да, за дати низ угнежђених, затворених интервала чије дужине постају произвољно мале, интервали садрже тачно један реалан број у свом пресеку. Дакле, Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, ... се дефинише као јединствени број садржан у свим интервалима Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, и тако даље. 0,999... је тада јединствени реалан број који лежи у свим интервалима Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, и Шаблон:Nowrap за сваки коначан низ деветки. Пошто је 1 елемент сваког од ових интервала, Шаблон:Nowrap.Шаблон:Sfnmp Канторов принцип уметнутих интервала се обично заснива на фундаменталнијој карактеристици реалних бројева: постојању најмањих горњих граница или супремума. Да би се директно искористили ови објекти, може се дефинисати Шаблон:Tmath... као најмања горња граница скупа апроксиманата Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, ...Шаблон:Sfnmp Затим се може показати да је ова дефиниција (или дефиниција са угнежђеним интервалима) у складу са процедуром поделе, што поново имплицира Шаблон:Nowrap. Том Апостол закључује: „чињеница да реалан број може имати два различита децимална записа је само одраз чињенице да два различита скупа реалних бројева могу имати исти супремум.”Шаблон:Sfnp

Докази из конструкције реалних бројева

Шаблон:Further

Неки приступи експлицитно дефинишу реалне бројеве као одређене структуре изграђене на рационалним бројевима, користећи аксиоматску теорију скупова. Природни бројеви Шаблон:Nowrap почињу са 0 и настављају се навише тако да сваки број има свог следбеника. Природни бројеви се могу проширити својим негативним вредностима да би се добили сви цели бројеви, и даље проширити на размере, дајући рационалне бројеве. Ови бројевни системи су праћени аритметиком сабирања, одузимања, множења и дељења.Шаблон:Sfnp Шаблон:Sfnp Суптилније, они укључују уређење, тако да се један број може упоредити са другим и утврдити да је мањи, већи или једнак другом броју.Шаблон:Sfnp

Корак од рационалних до реалних бројева је велико проширење. Постоје најмање два популарна начина да се овај корак постигне, оба објављена 1872. године: Дедекиндови резови и Кошијеви низови. Докази да Шаблон:Nowrap који директно користе ове конструкције не налазе се у уџбеницима реалне анализе, где је савремени тренд последњих неколико деценија да се користи аксиоматска анализа. Чак и када се понуди конструкција, она се обично примењује за доказивање аксиома реалних бројева, који затим подржавају горе наведене доказе. Међутим, неколико аутора изражава идеју да је почетак са конструкцијом логички прикладнији, а резултујући докази су самосталнији.Шаблон:Efn

Дедекиндови резови

Шаблон:Further

У приступу са Дедекиндовим резовима, сваки реалан број $x$ се дефинише као бесконачан скуп свих рационалних бројева мањих од Шаблон:Tmath.Шаблон:Efn Конкретно, реалан број 1 је скуп свих рационалних бројева који су мањи од 1.Шаблон:Efn Сваки позитиван децимални запис лако одређује Дедекиндов рез: скуп рационалних бројева који су мањи од неке фазе записа. Дакле, реалан број 0,999... је скуп рационалних бројева $r$ таквих да је Шаблон:Nowrap, или Шаблон:Nowrap, или Шаблон:Nowrap, или је $r$ мањи од неког другог броја обликаШаблон:Sfnp $1 - \frac{1}{1 0^{n}} = 0, (9)_{n} = 0, \underset{n деветки}{\underset{⏟}{99 \dots 9}} .$

Сваки елемент 0,999... је мањи од 1, па је елемент реалног броја 1. Супротно томе, сви елементи 1 су рационални бројеви који се могу написати као $\frac{a}{b} < 1,$ са $b > 0$ и Шаблон:Tmath. Ово имплицира $1 - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b} \geq \frac{1}{b} > \frac{1}{1 0^{b}},$ и стога $\frac{a}{b} < 1 - \frac{1}{1 0^{b}} .$

Пошто је $1 - \frac{1}{1 0^{b}} = 0, (9)_{b} < 0, 999 \dots,$ по горенаведеној дефиницији, сваки елемент од 1 је такође елемент од 0,999..., и, у комбинацији са доказом изнад да је сваки елемент од 0,999... такође елемент од 1, скупови 0,999... и 1 садрже исте рационалне бројеве, и стога су исти скуп, то јест, Шаблон:Nowrap. Дефиницију реалних бројева као Дедекиндових резова први пут је објавио Рихард Дедекинд 1872. године.Шаблон:Sfnp Горенаведени приступ додељивања реалног броја сваком децималном запису дугује се експозиторном раду под насловом „Да ли је Шаблон:Nowrap?” Фреда Ричмана у Mathematics Magazine.Шаблон:Sfnp Ричман примећује да узимање Дедекиндових резова у било ком густом подскупу рационалних бројева даје исте резултате; посебно, он користи децималне разломке, за које је доказ непосреднији. Он такође примећује да дефиниције обично дозвољавају да Шаблон:Nowrap буде рез, али не и Шаблон:Nowrap (или обрнуто).^[1] Даља модификација процедуре води до другачије структуре где ова два броја нису једнака. Иако је то конзистентно, многа уобичајена правила децималне аритметике више не важе, на пример, разломак $\frac{1}{3}$ нема приказ; погледајте алтернативне бројевне системе испод.

Кошијеви низови

Шаблон:Further

Други приступ је дефинисање реалног броја као лимеса Кошијевог низа рационалних бројева. Ова конструкција реалних бројева користи уређење рационалних бројева мање директно. Прво, растојање између $x$ и $y$ дефинише се као апсолутна вредност Шаблон:Tmath, где се апсолутна вредност $| z |$ дефинише као максимум од $z$ и Шаблон:Tmath, дакле никада није негативна. Затим се реални бројеви дефинишу као низови рационалних бројева који имају својство Кошијевог низа користећи ово растојање. То јест, у низу Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, ..., пресликавању из природних бројева у рационалне, за било који позитиван рационалан број $δ$ постоји $N$ тако да је $| x_{m} - x_{n} | \leq δ$ за све Шаблон:Tmath; растојање између чланова постаје мање од било ког позитивног рационалног броја.Шаблон:Sfnp

Ако су $(x_{n})$ и $(y_{n})$ два Кошијева низа, онда се дефинише да су они једнаки као реални бројеви ако низ $(x_{n} - y_{n})$ има лимес 0. Скраћења децималног броја Шаблон:Tmath... генеришу низ рационалних бројева, који је Кошијев; ово се узима да дефинише реалну вредност броја.Шаблон:Sfnp Тако је у овом формализму задатак показати да низ рационалних бројева $(1 - 0, 1 - \frac{9}{10}, 1 - \frac{99}{100}, \dots) = (1, \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \dots)$ има лимес 0. С обзиром на Шаблон:Tmath-ти члан низа, за Шаблон:Tmath, мора се стога показати да $lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 0^{n}} = 0.$ Ово се може доказати дефиницијом лимеса. Дакле, поново, Шаблон:Nowrap.Шаблон:Sfnp

Дефиницију реалних бројева као Кошијевих низова први пут су објавили одвојено Едуард Хајне и Георг Кантор, такође 1872. године.Шаблон:Sfnp Горенаведени приступ децималним записима, укључујући доказ да је Шаблон:Nowrap, блиско прати рад Грифитса и Хилтона из 1970. године Свеобухватни уџбеник класичне математике: савремена интерпретација.Шаблон:Sfnp

Бесконачни децимални запис

Уобичајено у средњошколском математичком образовању, реални бројеви се конструишу дефинисањем броја помоћу целог броја праћеног децималним зарезом и бесконачног низа написаног као стринг који представља разломачки део било ког датог реалног броја. У овој конструкцији, скуп било које комбинације целог броја и цифара после децималне тачке (или основне тачке у системима који нису у бази 10) је скуп реалних бројева. Може се ригорозно показати да ова конструкција задовољава све реалне аксиоме након дефинисања релација еквиваленције над скупом који дефинише Шаблон:Nowrap као и за било које друге не-нулте децималне бројеве са само коначним бројем не-нултих чланова у децималном стрингу са својом верзијом са завршним деветкама. Другим речима, једнакост Шаблон:Nowrap је неопходан услов да се низови цифара понашају како би реални бројеви требало.Шаблон:Sfnp Шаблон:Sfnp

Густ поредак

Шаблон:Further Један од појмова који може решити проблем је захтев да реални бројеви буду густо уређени. Густ поредак имплицира да ако не постоји нови елемент строго између два елемента скупа, та два елемента се морају сматрати једнаким. Стога, ако би 0,99999... било различито од 1, морао би постојати други реалан број између њих, али га нема: ниједна цифра се не може променити у било ком од ова два броја да би се добио такав број.Шаблон:Sfnp

Уопштења

Резултат да је Шаблон:Nowrap лако се уопштава на два начина. Прво, сваки не-нулти број са коначним децималним записом (еквивалентно, са бесконачним низом нула на крају) има свој пандан са завршним деветкама. На пример, 0,24999... једнако је 0,25, тачно као у посебном случају који смо разматрали. Ови бројеви су тачно децимални разломци, и они су густи.Шаблон:Sfnp Шаблон:Sfnp

Друго, упоредива теорема се примењује у свакој основи. На пример, у бази 2 (бинарни систем) 0,111... једнако је 1, а у бази 3 (тернарни систем) 0,222... једнако је 1. Уопштено, сваки коначни израз у бази $b$ има пандан са поновљеним завршним цифрама једнаким Шаблон:Nowrap. Уџбеници реалне анализе вероватно ће прескочити пример 0,999... и представити једно или оба ова уопштења од почетка.Шаблон:Sfnmp Алтернативни прикази броја 1 се такође јављају у неосновама које нису цели бројеви. На пример, у бази златног пресека, два стандардна приказа су 1,000... и 0,101010..., и постоји бесконачно много других приказа који укључују суседне јединице. Уопштено, за скоро све $q$ између 1 и 2, постоји непребројиво много записа броја 1 у Шаблон:Nowrap. Насупрот томе, још увек постоји непребројиво много Шаблон:Tmath, укључујући све природне бројеве веће од 1, за које постоји само један запис броја 1 у Шаблон:Nowrap, осим тривијалног 1,000... Овај резултат су први добили Пал Ердеш, Миклош Хорват и Иштван Јо око 1990. године. Године 1998. Вилмош Коморник и Паола Лорети одредили су најмању такву базу, Коморник-Лоретијеву константу Шаблон:Nowrap. У овој бази, Шаблон:Nowrap; цифре су дате Туе-Морзеовим низом, који се не понавља.Шаблон:Sfnp

Далекосежније уопштење се односи на најопштије позиционе бројевне системе. Они такође имају вишеструке приказе, и у неком смислу, тешкоће су још веће. На пример:Шаблон:Sfnmp

У балансираном тернарном систему, Шаблон:Nowrap.
У инверзном факторијелском бројном систему (користећи базе 2!, 3!, 4!, ... за позиције после децималног зареза), Шаблон:Nowrap.

Шаблон:Harvtxt је доказао да за било који позициони систем који именује све реалне бројеве, скуп реалних бројева са вишеструким приказима је увек густ. Он назива доказ „поучном вежбом из елементарне топологије скупа тачака”; он укључује посматрање скупова позиционих вредности као Стоунових простора и примећивање да су њихови реални прикази дати непрекидним функцијама.Шаблон:Sfnp

Примене

Једна примена 0,999... као приказа броја 1 јавља се у елементарној теорији бројева. Године 1802, Х. Гудвин је објавио запажање о појави деветки у периодичним децималним приказима разломака чији су имениоци одређени прости бројеви.Шаблон:Sfnmp Примери укључују:

$\frac{1}{7}$ = 0,Шаблон:Overline и Шаблон:Nowrap.
$\frac{1}{73}$ = 0,Шаблон:Overline и Шаблон:Nowrap.

Е. Миди је 1836. године доказао општи резултат о таквим разломцима, који се данас назива Мидијева теорема. Публикација је била непозната, и нејасно је да ли је његов доказ директно укључивао 0,999..., али барем један савремени доказ Вилијама Г. Левита то чини. Ако се може доказати да ако је децимални број облика Шаблон:Tmath... позитиван цео број, онда то мора бити 0,999..., што је онда извор деветки у теореми.Шаблон:Sfnp Истраживања у овом правцу могу мотивисати такве концепте као што су највећи заједнички делилац, модуларна аритметика, Фермаови прости бројеви, ред групних елемената, и квадратни реципроцитет.Шаблон:Sfnmp

Враћајући се на реалну анализу, аналог у бази 3 Шаблон:Nowrap игра кључну улогу у карактеризацији једног од најједноставнијих фрактала, Канторовог скупа средњих трећина: тачка у јединичном интервалу лежи у Канторовом скупу акко се може представити у тернарном систему користећи само цифре 0 и 2.

Шаблон:Tmath-та цифра приказа одражава положај тачке у Шаблон:Tmath-тој фази конструкције. На пример, тачка $\frac{2}{3}$ је дата уобичајеним приказом 0,2 или 0,2000..., пошто лежи десно од првог брисања и лево од сваког следећег брисања. Тачка $\frac{1}{3}$ се не представља као 0,1 већ као 0,0222..., пошто лежи лево од првог брисања и десно од сваког следећег брисања.Шаблон:Sfnmp

Понављајуће деветке се такође појављују у још једном делу Георга Кантора. Оне се морају узети у обзир да би се конструисао валидан доказ, примењујући његов дијагонални аргумент из 1891. на децималне записе, о непребројивости јединичног интервала. Такав доказ мора бити у стању да прогласи одређене парове реалних бројева различитим на основу њихових децималних записа, па је потребно избегавати парове попут 0,2 и 0,1999... Једноставан метод представља све бројеве са не-коначним записима; супротан метод искључује понављајуће деветке.Шаблон:Efn Варијанта која је можда ближа Канторовом оригиналном аргументу користи базу 2, а претварањем записа у бази 3 у записе у бази 2, може се доказати и непребројивост Канторовог скупа.Шаблон:Sfnmp

Скептицизам у образовању

Ученици математике често одбацују једнакост 0,999... и 1, из разлога који се крећу од њиховог различитог изгледа до дубоких сумњи у концепт лимеса и неслагања око природе инфинитезимала. Постоји много уобичајених фактора који доприносе забуни:

Ученици су често „ментално посвећени идеји да се број може представити на један и само један начин децималним записом”. Видети два очигледно различита децимална записа који представљају исти број изгледа као парадокс, што је појачано појавом наизглед добро схваћеног броја 1.Шаблон:Efn
Неки ученици тумаче „0,999...” (или сличну нотацију) као дугачак, али коначан низ деветки, могуће са променљивом, неодређеном дужином. Ако прихвате бесконачан низ деветки, можда и даље очекују последњу деветку „у бесконачности”.Шаблон:Sfnmp
Интуиција и двосмислено подучавање наводе ученике да размишљају о лимесу низа као о врсти бесконачног процеса, а не о фиксној вредности, пошто низ не мора да достигне свој лимес. Тамо где ученици прихватају разлику између низа бројева и његовог лимеса, они би могли читати „0,999...” као да означава низ, а не његов лимес.Шаблон:Sfnmp

Ове идеје су погрешне у контексту стандардних реалних бројева, иако неке могу бити валидне у другим бројевним системима, било да су измишљени због своје опште математичке корисности или као поучни контрапримери за боље разумевање 0,999...; погледајте У алтернативним бројевним системима испод.

Многа од ових објашњења пронашао је Дејвид Тол, који је проучавао карактеристике наставе и когниције које доводе до неких од неспоразума са којима се сусретао код својих студената. Интервјуишући своје студенте да би утврдио зашто је велика већина у почетку одбацила једнакост, открио је да „студенти настављају да замишљају 0,999... као низ бројева који се све више приближава 1, а не као фиксну вредност, јер 'нисте прецизирали колико има места' или 'то је најближи могући децимални број испод 1'”.Шаблон:Sfnp

Елементарни аргумент множења Шаблон:Nowrap са 3 може убедити невољне студенте да је 0,999... = 1. Ипак, када се суоче са сукобом између свог веровања у прву једначину и неверице у другу, неки студенти или почну да не верују у прву једначину или једноставно постану фрустрирани.Шаблон:Sfnp Ни софистицираније методе нису без мане: студенти који су у потпуности способни да примењују ригорозне дефиниције и даље се могу вратити интуитивним сликама када су изненађени резултатом у напредној математици, укључујући 0,999.... На пример, једна студенткиња реалне анализе је успела да докаже да је Шаблон:Nowrap користећи дефиницију супремума, али је затим инсистирала да је Шаблон:Nowrap на основу свог ранијег разумевања дугог дељења.Шаблон:Sfnmp Други и даље могу да докажу да је Шаблон:Nowrap, али, када се суоче са разломачким доказом, инсистирају да „логика” надјачава математичке прорачуне.

Шаблон:Harvtxt прича причу о свом иначе бриљантном студенту анализе који је „оспоравао готово све што сам рекао на часу, али никада није доводио у питање свој калкулатор”, и који је поверовао да је девет цифара све што је потребно за математику, укључујући израчунавање квадратног корена из 23. Студент је остао нелагодан са граничним аргументом да је Шаблон:Nowrap, називајући га „дивље замишљеним бесконачним процесом раста”.Шаблон:Sfnp

Као део APOS теорије математичког учења, Шаблон:Harvtxt предлажу да студенти који замишљају 0,999... као коначан, неодређен низ са бесконачно малим растојањем од 1 „још нису конструисали потпуну процес-концепцију бесконачног децималног броја”. Други студенти који имају потпуну процес-концепцију 0,999... можда још увек не могу да „енкапсулирају” тај процес у „објект-концепцију”, као што је објект-концепција коју имају о 1, па стога виде процес 0,999... и објекат 1 као неспојиве. Они такође повезују ову менталну способност енкапсулације са гледањем на $\frac{1}{3}$ као на број за себе и са бављењем скупом природних бројева као целином.Шаблон:Sfnp

Културни феномен

Са порастом интернета, дебате о 0,999... постале су уобичајене на дискусионим групама и интернет форумима, укључујући многе које номинално немају много везе са математиком. У дискусионој групи Шаблон:Mono деведесетих година, расправа о 0,999... постала је „популаран спорт” и била је једно од питања на које је одговорено у њеном FAQ.Шаблон:Sfnp Шаблон:Sfnp FAQ укратко покрива Шаблон:Tmath, множење са 10 и лимесе, и алудира и на Кошијеве низове.

Издање колумне општег интереса The Straight Dope из 2003. године разматра 0,999... преко $\frac{1}{3}$ и лимеса, говорећи о заблудама: Шаблон:Blockquote

Чланак у Slate-у извештава да је концепт 0,999... „жестоко оспораван на веб-сајтовима у распону од форума за World of Warcraft до форума Ајн Ранд”.Шаблон:Sfnp 0,999... се такође појављује у математичким вицевима, као што је:Шаблон:Sfnp Шаблон:Blockquote

Чињеница да је 0,999... једнако 1 упоређена је са Зеноновим парадоксом тркача.Шаблон:Sfnmp Парадокс тркача се може математички моделирати и онда, као и 0,999..., решити помоћу геометријског реда. Међутим, није јасно да ли овај математички третман решава основна метафизичка питања која је Зенон истраживао.Шаблон:Sfnmp

У алтернативним бројевним системима

Иако реални бројеви чине изузетно користан бројевни систем, одлука да се нотација „0,999...” тумачи као именовање реалног броја је на крају конвенција, а Тимоти Гауерс у Математика: Врло кратак увод тврди да је резултујући идентитет Шаблон:Nowrap такође конвенција: Шаблон:Blockquote

Инфинитезимали

Шаблон:Main

Неки докази да се Шаблон:Nowrap ослањају на Архимедову аксиому реалних бројева: да не постоје не-нулти инфинитезимали. Конкретно, разлика Шаблон:Nowrap мора бити мања од било ког позитивног рационалног броја, па мора бити инфинитезимал; али пошто реални бројеви не садрже не-нулте инфинитезимале, разлика је нула, и стога су две вредности исте.

Међутим, постоје математички кохерентне уређене алгебарске структуре, укључујући различите алтернативе реалним бројевима, које су не-Архимедове. Нестандардна анализа пружа бројевни систем са пуним низом инфинитезимала (и њихових инверза).Шаблон:Efn А. Х. Лајтстоун је развио децимални запис за хиперреалне бројеве у Шаблон:Nowrap. Лајтстоун показује како се сваком броју може придружити низ цифара, $0. d_{1} d_{2} d_{3} \dots; \dots d_{\infty - 1} d_{\infty} d_{\infty + 1} \dots,$ индексиран хиперприродним бројевима. Иако не расправља директно о 0,999..., он показује да је реалан број $\frac{1}{3}$ представљен као 0,333...;...333..., што је последица принципа преноса. Као последица, број Шаблон:Nowrap. Са овом врстом децималног приказа, не представља сваки запис број. Конкретно, „0,333...;...000...” и „0,999...;...000...” не одговарају ниједном броју.Шаблон:Sfnp

Стандардна дефиниција броја 0,999... је лимес низа 0,9, 0,99, 0,999, ... Другачија дефиниција укључује ултралимес, тј. класу еквиваленције Шаблон:Nowrap овог низа у ултрастепен конструкцији, што је број који је за инфинитезимални износ мањи од 1.Шаблон:Sfnp Уопштеније, хиперреални број Шаблон:Nowrap, са последњом цифром 9 на бесконачном хиперприродном рангу Шаблон:Tmath, задовољава строгу неједнакост Шаблон:Tmath. Сходно томе, алтернативна интерпретација за „нула праћена бесконачним бројем деветки” могла би битиШаблон:Sfnp $\underset{H}{0. \underset{⏟}{999 \dots}} = 1 - \frac{1}{1 0^{H}} .$ Све такве интерпретације „0,999...” су бесконачно близу 1. Ијан Стјуарт карактерише ову интерпретацију као „потпуно разуман” начин да се ригорозно оправда интуиција да „нешто мало недостаје” од 1 у 0,999....Шаблон:Efn Заједно са Шаблон:Harvtxt, Шаблон:Harvtxt такође доводи у питање претпоставку да су идеје ученика о Шаблон:Nowrap погрешне интуиције о реалним бројевима, тумачећи их радије као нестандардне интуиције које би могле бити вредне у учењу анализе.Шаблон:Sfnmp

Хакенбуш

Комбинаторна теорија игара пружа генерализовани концепт броја који обухвата реалне бројеве и много више.Шаблон:Sfnp На пример, 1974. године, Елвин Берлекамп је описао кореспонденцију између низова црвених и плавих сегмената у Хакенбушу и бинарних записа реалних бројева, мотивисан идејом компресије података. На пример, вредност Хакенбуш низа LRRLRLRL... је Шаблон:Nowrap Међутим, вредност LRLLL... (која одговара 0,111...₂) је инфинитезимално мања од 1. Разлика између њих је надреални број $\frac{1}{ω}$ , где је $ω$ први бесконачни ординал; релевантна игра је LRRRR... или 0,000...₂.Шаблон:Efn

Ово важи за бинарне записе многих рационалних бројева, где су вредности бројева једнаке, али одговарајуће путање у бинарном стаблу су различите. На пример, Шаблон:Nowrap, што је обоје једнако Шаблон:Tmath, али први приказ одговара путањи бинарног стабла LRLRLLL..., док други одговара различитој путањи LRLLRRR...

Поновно разматрање одузимања

Други начин на који би докази могли бити поткопани је ако Шаблон:Nowrap једноставно не постоји јер одузимање није увек могуће. Математичке структуре са операцијом сабирања, али не и са операцијом одузимања, укључују комутативне полугрупе, комутативне моноиде и полупрстенове. Шаблон:Harvtxt разматра два таква система, дизајнирана тако да је Шаблон:Nowrap.Шаблон:Sfnp

Прво, Шаблон:Harvtxt дефинише ненегативни децимални број као дословни децимални запис. Он дефинише лексикографски поредак и операцију сабирања, примећујући да је Шаблон:Nowrap једноставно зато што је Шаблон:Nowrap на месту јединица, али за било који не-коначни Шаблон:Tmath, имамо Шаблон:Nowrap. Дакле, једна посебност децималних бројева је да се сабирање не може увек поништити; друга је да ниједан децимални број не одговара Шаблон:Tmath. Након дефинисања множења, децимални бројеви чине позитиван, потпуно уређен, комутативни полупрстен.Шаблон:Sfnp У процесу дефинисања множења, Ричман такође дефинише други систем који назива „рез Шаблон:Tmath”, што је скуп Дедекиндових резова децималних разломака. Обично ова дефиниција води до реалних бројева, али за децимални разломак $d$ он дозвољава и рез Шаблон:Nowrap и „главни рез” Шаблон:Nowrap. Резултат је да реални бројеви „живе нелагодно заједно са” децималним разломцима. Опет је Шаблон:Nowrap. У резу Шаблон:Tmath нема позитивних инфинитезимала, али постоји „нека врста негативног инфинитезимала”, 0⁻, који нема децимални запис. Он закључује да је Шаблон:Nowrap, док једначина „Шаблон:Nowrap” нема решење.Шаблон:Efn

p-адски бројеви

Шаблон:Main

Када се пита о 0,999..., почетници често верују да би требало да постоји „последња 9”, верујући да је Шаблон:Nowrap позитиван број који пишу као „0,000...1”. Без обзира да ли то има смисла, интуитивни циљ је јасан: додавање 1 на последњу 9 у 0,999... би пренело све деветке у нуле и оставило 1 на месту јединица. Између осталих разлога, ова идеја не успева јер не постоји „последња 9” у 0,999....Шаблон:Sfnmp Међутим, постоји систем који садржи бесконачан низ деветки укључујући и последњу деветку.

[[P-адски број|Шаблон:Nowrapадски бројеви]] су алтернативни бројевни систем од интереса у теорији бројева. Као и реални бројеви, Шаблон:Nowrapадски бројеви се могу изградити од рационалних бројева преко Кошијевих низова; конструкција користи другачију метрику у којој је 0 ближе Шаблон:Tmath, и много ближе Шаблон:Tmath, него 1.Шаблон:Sfnp Шаблон:Nowrapадски бројеви формирају поље за прост број $p$ и прстен за друге Шаблон:Tmath, укључујући 10. Дакле, аритметика се може изводити у Шаблон:Nowrapадским бројевима, и нема инфинитезимала.

У 10-адским бројевима, аналози децималних записа иду улево. 10-адски запис ...999 има последњу 9, а нема прву 9. Може се додати 1 на место јединица, и иза себе оставља само нуле након преноса: Шаблон:Nowrap, па је Шаблон:Nowrap.Шаблон:Sfnp Друго извођење користи геометријски ред. Бесконачни ред имплициран са „...999” не конвергира у реалним бројевима, али конвергира у 10-адским бројевима, па се може поново користити позната формула:Шаблон:Sfnp $\dots 999 = 9 + 9 (10) + 9 (10)^{2} + 9 (10)^{3} + \dots = \frac{9}{1 - 10} = - 1.$

Упоредите са редом у одељку изнад. Треће извођење је измислио ученик седмог разреда који је био сумњичав према аргументу свог наставника о лимесу да је Шаблон:Nowrap, али га је инспирисало да узме доказ са множењем са 10 изнад у супротном смеру: ако је Шаблон:Nowrap, онда је Шаблон:Nowrap, па је Шаблон:Nowrap, стога је Шаблон:Nowrap поново.Шаблон:Sfnp

Као последње проширење, пошто је Шаблон:Nowrap (у реалним бројевима) и Шаблон:Nowrap (у 10-адским бројевима), онда се „слепом вером и безобзирним жонглирањем симболима”Шаблон:Sfnp могу сабрати две једначине и доћи до Шаблон:Nowrap. Ова једначина нема смисла ни као 10-адски запис ни као обичан децимални запис, али се испоставља да је смислена и тачна у двоструко бесконачном децималном запису 10-адског соленоида, са периодичним левим крајевима који представљају реалне бројеве и периодичним десним крајевима који представљају 10-адске бројеве.Шаблон:Sfnp

Види још

Финитизам
Неформална математика
Парадокс дихотомије, парадокс формиран на основу неинтуитивног разумевања бесконачних низова

Белешке

Референце

Шаблон:Референце

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite book
Овај уводни уџбеник о динамичким системима намењен је студентима основних и почетних постдипломских студија. (стр. ix)
Шаблон:Cite book
Прелаз са анализе на напредну анализу, Математичка анализа има за циљ да буде „поштена, ригорозна, ажурирана и, у исто време, не превише педантна”. (предговор) Апостолов развој реалних бројева користи аксиом најмање горње границе и уводи бесконачне децимале две странице касније. (стр. 9–11)
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite book
Ова књига је намењена као увод у реалну анализу за студенте виших година основних и постдипломских студија. (стр. xi-xii)
Шаблон:Cite book
Овај текст има за циљ да буде „приступачан, разумно темпиран уџбеник који се бави основним концептима и техникама реалне анализе”. Његов развој реалних бројева ослања се на аксиом супремума. (стр. vii–viii)
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Ова књига представља анализу парадокса и заблуда као алат за истраживање своје централне теме, „прилично крхке везе између математичке и физичке стварности”. Претпоставља се знање алгебре из прве године средње школе; даља математика се развија у књизи, укључујући геометријске редове у Поглављу 2. Иако 0,999... није један од парадокса који се у потпуности третира, кратко се помиње током развоја Канторовог дијагоналног метода. (стр. ix-xi, 119)
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite journal
Овај чланак је теренска студија која укључује студенткињу која је развила Лајбницовску теорију инфинитезимала како би јој помогла да разуме анализу, а посебно да објасни како је Шаблон:Nowrap мање од 1 за инфинитезимални износ Шаблон:Nowrap.
Шаблон:Cite book
Уводни уџбеник из теорије скупова за основне студије који „не претпоставља никакво специфично предзнање”. Написан је тако да одговара курсу који се фокусира на аксиоматску теорију скупова или на конструкцију бројевних система; аксиоматски материјал је означен тако да се може мање нагласити. (стр. xi–xii)
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Ова књига је настала из курса за наставнике математике у гимназијама у области Бирмингемa. Курс је имао за циљ да пренесе универзитетску перспективу на школску математику, а књига је намењена студентима „који су достигли отприлике ниво завршетка једне године специјалистичких студија математике на универзитету”. Реални бројеви се конструишу у поглављу 24, „можда најтежем поглављу у целој књизи”, иако аутори већи део тежине приписују употреби теорије идеала, што овде није репродуковано. (pp. vii, xiv)
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite arXiv
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite arXiv
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite book
Манкијевич настоји да представи „историју математике у приступачном стилу” комбиновањем визуелних и квалитативних аспеката математике, списа математичара и историјских скица. (p. 8)
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Тематски, а не хронолошки, преглед бесконачности, ова књига је „намењена широј читалачкој публици”, али је „испричана из угла математичара”. О дилеми између ригорозности и читљивог језика, Маор коментарише: „Надам се да сам успео да на адекватан начин решим овај проблем.” (pp. x-xiii)
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Намењен као увод „на нивоу завршне године основних или прве године постдипломских студија” без формалних предуслова: „Не претпостављам чак ни да читалац зна много о теорији скупова.” (p. xi) Манкресов третман реалних бројева је аксиоматски; он тврди за конструкције „голим рукама”: „Овај начин приступања теми захтева много времена и труда и од већег је логичког него математичког интереса.” (p. 30)
Шаблон:Cite journal
Шаблон:MacTutor Шаблон:Sfn whitelist
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite book
Ова књига има за циљ да „представи теоријску основу анализе која је погодна за студенте који су завршили стандардни курс калкулуса”. (p. vii) На крају поглавља 2, аутори као аксиом за реалне бројеве претпостављају да ограничени, неопадајући низови конвергирају, касније доказујући теорему о уметнутим интервалима и својство најмање горње границе. (pp. 56–64) Децимални записи се појављују у Додатку 3, „Записи реалних бројева у било којој бази”. (pp. 503–507)
Шаблон:Cite book
Иако претпоставља познавање рационалних бројева, Пју уводи Дедекиндове пресеке што је пре могуће, говорећи о аксиоматском приступу: „Ово је својеврсна превара, с обзиром на то да је целокупна структура анализе изграђена на систему реалних бројева.” (p. 10) Након доказивања својства најмање горње границе и неких сродних чињеница, пресеци се не користе у остатку књиге.
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal Free HTML preprint: Шаблон:Cite web Напомена: чланак у часопису садржи материјал и формулације које се не налазе у препринту.
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Ова књига даје „пажљив и ригорозан” увод у реалну анализу. Даје аксиоме реалних бројева, а затим их конструише (pp. 27–31) као бесконачне децимале са 0.999... = 1 као делом дефиниције.
Шаблон:Cite book
Уџбеник за напредни додипломски курс. „Искуство ме је уверило да је педагошки неосновано (иако логички исправно) почети са конструкцијом реалних бројева из рационалних. На почетку, већина студената једноставно не успева да схвати потребу за тим. Сходно томе, систем реалних бројева се уводи као уређено поље са својством најмање горње границе, и брзо се даје неколико занимљивих примена овог својства. Међутим, Дедекиндова конструкција није изостављена. Она се сада налази у Додатку Поглављу 1, где се може проучавати и уживати у њој када за то дође време.” (p. ix)
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite book
Ова књига има за циљ да „помогне студентима у откривању калкулуса” и „да подстакне концептуално разумевање”. (p. v) Изоставља доказе о основама калкулуса.
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite journal
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite book
Шаблон:Cite journal

Шаблон:Литература крај

Додатна литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Подножје

↑ Шаблон:Harvtxt, стр. 398–399. „Зашто то радити? Управо да би се искључило постојање различитих бројева 0,Шаблон:Overline и 1. [...] Тако видимо да је у традиционалној дефиницији реалних бројева једначина Шаблон:Nowrap уграђена на самом почетку.”

[1] Шаблон:Harvtxt, стр. 398–399. „Зашто то радити? Управо да би се искључило постојање различитих бројева 0,Шаблон:Overline и 1. [...] Тако видимо да је у традиционалној дефиницији реалних бројева једначина Шаблон:Nowrap уграђена на самом почетку.”

[1]

0,999...

Садржај