Френелови интеграли

Френелови интеграли $S(x)$ и $C(x)$ представљају две математичке трансцедентне функције, које је Огистен Жан Френел користио у оптици. Користе се да опишу Френелову дифракцију, а дефинисане су следећим интегралима: $S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt.$

Истовременим параметарским цртежом оба интеграла добија се Ојлерова спирала.

Дефиниција

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.$

Неки аутори користе $\frac{\pi }{2}{t}^2$ као аргумент у интегралу приликом дефиниције $S(x)$ и $C(x)$. Тада се интеграли множе са $\sqrt{\frac{2}{\pi }}$, а аргумент x са $(\frac{\pi }{2}{)}^{1/2}$.

Ојлерова спирала

Ојлерова спирала

Ојлерова спирала позната је и као Корнуова спирала или клотоида, а добија се параметарским приказом $S(t)$ према $C(t)$. Помоћу дефиниција Френелових интеграла за dx и dy добија се:

$dx=C^{\prime }(t)dt=\cos (t^2)dt$

$dy=S^{\prime }(t)dt=\sin (t^2)dt$

Дужина спирале мерена из исходишта може да се представи као:

$L=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt=t$

Својства

• $S(x)$ и $C(x)$ су непарне функције
• Френелови интеграли могу да се изразе преко $\mathrm{erf}(x)$ функција грешке:

$S(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{i}\mathrm{erf}(\sqrt{i}x)+\sqrt{-i}\mathrm{erf}(\sqrt{-i}x))$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}(\sqrt{-i}\mathrm{erf}(\sqrt{i}x)+\sqrt{i}\mathrm{erf}(\sqrt{-i}x)).$

• Интеграли не могу да се израчунају у затвореној форми помоћу елементарних функција, сем у специјалним случајевима. Како x тежи бесконачности добија се:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos t^{2}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin t^{2}dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}=\sqrt{\frac{\pi }{8}}.$

Генерализација

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (x^a)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{a}\right)\sin (\frac{\pi }{2a})}{a}$

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:Page}-
• Френелови интеграли