Теорема потпуне вероватноће

Теорема потпуне вероватноће је појам из вероватноће. Користи се за израчунавање вероватноће неког догађаја у односу на његов потпун систем хипотеза.

Потпун систем хипотеза

Ако за узајамно искључиве догађаје $H_1$, ... , $H_n$ и догађај $A$ важи:

$A\subset H_1\cup \mathrm{...}\cup H_n$

тада се каже да догађаји $H_1$, ... , $H_n$ чине потпун систем хипотеза у односу на догађај $A$.

На пример, ако имамо догађаје $A$ и $B$, тада су догађај $B$ и њему супротан догађај $B^{\prime }$ заправо потпун систем хипотеза у односу на догађај $A$, јер свакако важи $A\subset B\cup B^{\prime }$.

Теорема потпуне вероватноће

Ако догађаји $H_1$, ... , $H_n$ чине потпун систем хипотеза у односу на догађај A, односно, ако је $\sum _{i=1}^n{H}_i=\mathrm{\Omega }$ где је $\mathrm{\Omega }$ скуп свих могућих елементарних догађаја, тада важи теорема потпуне вероватноће:

$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A\mid H_i)P(H_i)$

Доказ теореме следи из чињенице да за потпун систем хипотеза важи:

$A=(A{H}_1)\cup \mathrm{...}\cup (A{H}_n)$

где је $A{H}_1$ скраћени запис $A\cap H_1$. На основу овога, како су догађаји $H_1$, ... , $H_n$ узајамно искључиви, важи: $P(A)=P(A{H}_1)+\mathrm{...}+P(A{H}_n)$

Даље се применом правила условне вероватноће добија теорема потпуне вероватноће.

Види још

• Вероватноћа
• Теорија вероватноће
• Условна вероватноћа
• Бајесова формула

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book