Теорема о отвореном пресликавању

Две се теореме у математици називају именом теорема о отвореном пресликавању.

Функционална анализа

У функционалној анализи, теорема о отвореном пресликавању (понекад: теорема Банаха о отвореном пресликавању, Банах-Шаудерова теорема) је следећи темељни резултат:

Нека су X и Y Банахови простори и $A:X\to Y$ сурјективно непрекидно линеарно пресликавање. Тада је A отворено пресликавање (односно, ако је $U\subset X$ отворен, тада је и слика $f(A)\subset Y$ отворен скуп).

Доказ теореме о отвореном пресликавању користи Берову теорему о категорији. Теорема важи и за Фрешеове просторе, који такође имају Берово својство.

Ова теорема има бројне важне последице, међу којима посебно:

• Ако је $A:X\to Y$ бијективно непрекидно линеарно пресликавање Банахових простора X и Y, тада је инверзно пресликавање $A^{-1}:Y\to X$ такође непрекидно, односно A је хомеоморфизам (теорема о инверзном пресликавању, Банахова теорема о изоморфизму).
• Ако је $A:X\to Y$ линеарно пресликавање између Банахових простора X и Y, и ако из $x_n\to 0$ и $A{x}_n\to y$ за низ елемената $x_n\in X$ и $y\in Y$ следи $y=0$, тада је A непрекидно.

Потоње тврђење се назива теоремом о затвореном графику, пошто тврди да је линеарно пресликавање $A:X\to Y$ између Банахових простора непрекидно ако и само ако је његов график $G_A=\{(x,Ax):x\in X\}$ затворен подскуп производа $X\times Y$.

Комплексна анализа

У комплексној анализи, понекад се (посебно у земљама енглеског говорног подручја) теоремом о отвореном пресликавању назива тврђење да је за сваки отворен подскуп $U\subseteq ℂ$ и сваку неконстантну холоморфну функцију $f:U\to ℂ$, скуп $f(U)$ отворен; другим речима, свака неконстантна холоморфна функција је отворено пресликавање (слике отворених подскупова $ℂ$ су такође отворени подскупови).